Номер 315, страница 141 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

315. Квадрат вписан в треугольник, как показано на рисунке 287. Если $AC = 70 \text{ см}$, $BH = 30 \text{ см}$ — высота, то чему равна длина стороны квадрата?

Рис. 287

Обозначим искомую длину стороны вписанного квадрата $KMNP$ через $x$. Тогда все его стороны равны $x$, в частности, $MN = x$ и $KM = x$.

Согласно условию задачи, нам дан треугольник $ABC$ с основанием $AC = 70$ см и высотой $BH = 30$ см, проведенной к этому основанию.

Поскольку квадрат $KMNP$ вписан в треугольник так, что его сторона $KP$ лежит на основании $AC$, а вершины $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, то сторона квадрата $MN$ параллельна основанию $AC$ ($MN \parallel AC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BMN$ и $\triangle BAC$. Угол $\angle B$ у них общий. Углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Таким образом, треугольник $\triangle BMN$ подобен треугольнику $\triangle BAC$ по двум углам ($\triangle BMN \sim \triangle BAC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных высот равно отношению их оснований. Высотой в $\triangle BAC$, проведенной к основанию $AC$, является $BH$. Высотой в $\triangle BMN$, проведенной к основанию $MN$, является отрезок $BF$, где $F$ — точка пересечения $BH$ и $MN$.

Длина высоты $BH = 30$ см, а длина основания $AC = 70$ см. Длина основания $MN$ равна стороне квадрата, то есть $MN = x$.

Высота $BH$ складывается из двух отрезков: $BF$ и $FH$. Длина отрезка $FH$ равна высоте квадрата, которая, в свою очередь, равна его стороне $KM$. Следовательно, $FH = KM = x$. Тогда высоту $BF$ можно выразить как разность общей высоты $BH$ и отрезка $FH$: $BF = BH - FH = 30 - x$.

Запишем пропорцию для подобных треугольников: $\frac{\text{высота } \triangle BMN}{\text{высота } \triangle BAC} = \frac{\text{основание } \triangle BMN}{\text{основание } \triangle BAC}$ $\frac{BF}{BH} = \frac{MN}{AC}$

Подставим в это соотношение известные значения и выражения: $\frac{30 - x}{30} = \frac{x}{70}$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $70 \cdot (30 - x) = 30 \cdot x$

Раскроем скобки и решим уравнение: $2100 - 70x = 30x$ $2100 = 30x + 70x$ $2100 = 100x$ $x = \frac{2100}{100}$ $x = 21$

Таким образом, длина стороны квадрата составляет 21 см.

Ответ: 21 см.