Номер 311, страница 141 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

311. В равнобедренном треугольнике $ABC$, у которого $AB = BC$ и $\angle B = 36^\circ$, провели биссектрису $AK$. Определите, какие из полученных треугольников подобны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором по условию $AB = BC$ и угол при вершине $\angle B = 36^\circ$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$. Отсюда следует, что $\angle BAC = \angle BCA = 144^\circ / 2 = 72^\circ$. Итак, углы треугольника $ABC$ составляют $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

Биссектриса $AK$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла:
$\angle BAK = \angle KAC = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$.

Биссектриса $AK$ разбивает исходный треугольник на два других: $\triangle ABK$ и $\triangle AKC$. Найдем углы этих двух треугольников, чтобы проверить их на подобие.

В треугольнике $ABK$ имеем:
- Угол $\angle ABK$ равен углу $\angle B$ исходного треугольника, то есть $\angle ABK = 36^\circ$.
- Угол $\angle BAK$ равен $36^\circ$, так как $AK$ — биссектриса.
- Третий угол $\angle AKB$ находим из суммы углов треугольника: $\angle AKB = 180^\circ - (\angle ABK + \angle BAK) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $ABK$: $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$.

В треугольнике $AKC$ имеем:
- Угол $\angle KAC$ равен $36^\circ$, так как $AK$ — биссектриса.
- Угол $\angle ACK$ равен углу $\angle C$ исходного треугольника, то есть $\angle ACK = 72^\circ$.
- Третий угол $\angle AKC$ находим из суммы углов треугольника: $\angle AKC = 180^\circ - (\angle KAC + \angle ACK) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $AKC$: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

Теперь сравним углы трех треугольников: $\triangle ABC$, $\triangle ABK$ и $\triangle AKC$. Два треугольника подобны по первому признаку подобия (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.
Углы $\triangle ABC$: $\{36^\circ, 72^\circ, 72^\circ\}$.
Углы $\triangle AKC$: $\{36^\circ, 72^\circ, 72^\circ\}$.
Наборы углов этих треугольников совпадают.
$\angle B$ в $\triangle ABC$ ($36^\circ$) равен $\angle KAC$ в $\triangle AKC$ ($36^\circ$).
$\angle C$ в $\triangle ABC$ ($72^\circ$) равен $\angle C$ в $\triangle AKC$ ($72^\circ$).
Следовательно, по первому признаку подобия, $\triangle ABC \sim \triangle KAC$.

Треугольник $ABK$ с углами $\{36^\circ, 36^\circ, 108^\circ\}$ не подобен ни $\triangle ABC$, ни $\triangle AKC$, так как их наборы углов различны.

Ответ: подобными являются треугольники $ABC$ и $AKC$.