Номер 314, страница 141 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

314. a) В параллелограмме $ABCD$ на стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM : MC = 5 : 7$. Луч $DM$ пересекает луч $AB$ в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $AB = 42$ см.

б) В параллелограмме $ABCD$ на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ взята точка $M$. Прямая $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $K$ так, что $AK : KC = 11 : 4$. Найдите длину отрезка $BM$, если $AB = 640$ м.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle KBM $ и $ \triangle DCM $.

Поскольку $ ABCD $ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $ AB \parallel DC $ и $ AD \parallel BC $.

1. Углы $ \angle KMB $ и $ \angle DMC $ являются вертикальными, следовательно, они равны: $ \angle KMB = \angle DMC $.

2. Так как луч $ AB $ параллелен стороне $ DC $, то прямая $ AK $, содержащая этот луч, также параллельна $ DC $. Прямая $ DK $ является секущей для параллельных прямых $ AK $ и $ DC $. Следовательно, накрест лежащие углы $ \angle BKM $ (или $ \angle AKD $) и $ \angle CDM $ (или $ \angle KDC $) равны: $ \angle BKM = \angle CDM $.

Из этих двух пунктов следует, что треугольники $ \triangle KBM $ и $ \triangle DCM $ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{BK}{DC} = \frac{BM}{MC} = \frac{KM}{DM} $

По условию задачи дано, что $ BM : MC = 5 : 7 $, то есть $ \frac{BM}{MC} = \frac{5}{7} $.

Также по условию $ AB = 42 $ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $ DC = AB = 42 $ см.

Подставим известные значения в пропорцию: $ \frac{BK}{42} = \frac{5}{7} $

Выразим из этого уравнения $ BK $: $ BK = \frac{5}{7} \cdot 42 = 5 \cdot 6 = 30 $ см.

Ответ: 30 см.

б)

Рассмотрим треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CKD $.

Поскольку $ ABCD $ — параллелограмм, то $ AB \parallel DC $. Точка $ M $ лежит на продолжении стороны $ AB $, значит прямая $ AM $ параллельна стороне $ DC $.

1. Углы $ \angle AKM $ и $ \angle CKD $ являются вертикальными, следовательно, они равны: $ \angle AKM = \angle CKD $.

2. Прямая $ AC $ является секущей для параллельных прямых $ AM $ и $ DC $. Следовательно, накрест лежащие углы $ \angle MAK $ (или $ \angle CAB $) и $ \angle KCD $ (или $ \angle ACD $) равны: $ \angle MAK = \angle KCD $.

Таким образом, треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CKD $ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{AK}{CK} = \frac{AM}{CD} = \frac{KM}{KD} $

По условию задачи дано, что $ AK : KC = 11 : 4 $, то есть $ \frac{AK}{CK} = \frac{11}{4} $.

Также по условию $ AB = 640 $ м. В параллелограмме $ CD = AB = 640 $ м.

Точка $ M $ лежит на продолжении стороны $ AB $ за точку $ B $, поэтому длина отрезка $ AM $ равна сумме длин отрезков $ AB $ и $ BM $: $ AM = AB + BM $.

Подставим известные значения в пропорцию: $ \frac{11}{4} = \frac{AM}{640} $

Найдем длину $ AM $: $ AM = \frac{11}{4} \cdot 640 = 11 \cdot 160 = 1760 $ м.

Теперь найдем длину отрезка $ BM $: $ BM = AM - AB = 1760 - 640 = 1120 $ м.

Ответ: 1120 м.