Номер 313, страница 141 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

313. а) В треугольнике ABC провели отрезок BM (M лежит на стороне AC), $\angle BMC = \angle ABC$, $AM = 7$ м, $MC = 9$ м. Найдите сторону BC.

б) В треугольнике ABC провели отрезок BM (M лежит на стороне AC), $\angle ABM = \angle ACB$, $AB = 2$ см, $AC = 4$ см. Найдите отрезки AM и MC.

в) В треугольнике ABC провели отрезок BM (M лежит на стороне AC), $\angle ABM = \angle ACB$, $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $BM = 3$ см. Найдите сторону AC.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle BMC $.

У этих треугольников:

1. $ \angle C $ — общий.
2. $ \angle ABC = \angle BMC $ по условию.

Следовательно, $ \triangle ABC \sim \triangle BMC $ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{BC}{MC} = \frac{AB}{BM} $

Используем первую часть пропорции: $ \frac{AC}{BC} = \frac{BC}{MC} $.

Отсюда получаем: $ BC^2 = AC \cdot MC $.

Найдем длину стороны $ AC $: $ AC = AM + MC = 7 + 9 = 16 $ м.

Подставим известные значения в формулу:

$ BC^2 = 16 \cdot 9 = 144 $

$ BC = \sqrt{144} = 12 $ м.

Ответ: 12 м.

б)

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ABM $.

У этих треугольников:

1. $ \angle A $ — общий.
2. $ \angle ACB = \angle ABM $ по условию.

Следовательно, $ \triangle ABC \sim \triangle ABM $ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AM} = \frac{BC}{BM} $

Используем первую часть пропорции: $ \frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AM} $.

Отсюда получаем: $ AB^2 = AC \cdot AM $.

Подставим известные значения ($ AB = 2 $ см, $ AC = 4 $ см) и найдем $ AM $:

$ 2^2 = 4 \cdot AM $

$ 4 = 4 \cdot AM $

$ AM = 1 $ см.

Так как точка $ M $ лежит на стороне $ AC $, то $ AC = AM + MC $. Найдем $ MC $:

$ MC = AC - AM = 4 - 1 = 3 $ см.

Ответ: $ AM = 1 $ см, $ MC = 3 $ см.

в)

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ABM $.

У этих треугольников:

1. $ \angle A $ — общий.
2. $ \angle ACB = \angle ABM $ по условию.

Следовательно, $ \triangle ABC \sim \triangle ABM $ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{BM} = \frac{AB}{AM} $

Используем первую часть пропорции, чтобы найти $ AC $: $ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{BM} $.

Подставим известные значения ($ AB = 4 $ см, $ BC = 6 $ см, $ BM = 3 $ см):

$ \frac{AC}{4} = \frac{6}{3} $

$ \frac{AC}{4} = 2 $

$ AC = 4 \cdot 2 = 8 $ см.

Ответ: 8 см.