Номер 308, страница 140 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

308. На рисунках 284, а)—в) изображены параллелограмм, трапеция и прямоугольник. По данным на рисунках найдите длину отрезка $x$.

а) $x = 4$

б) $x = 6$

в) $x = 12$

Рис. 284

а)

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, $BC \parallel AD$ и $BC = AD = 8$. Также $AB \parallel CD$ и $AB = CD = 6$.

Точка M лежит на продолжении стороны AD, поэтому прямая AM параллельна BC.

Рассмотрим треугольники $ΔBCK$ и $ΔMDK$.

1. $∠BKC = ∠MKD$ как вертикальные углы.

2. $∠KBC = ∠KMD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AM и секущей BM.

Следовательно, треугольники $ΔBCK$ и $ΔMDK$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $${BC \over MD} = {CK \over KD} = {BK \over KM}$$

Из условия и рисунка имеем: $BC = 8$, $CD = 6$, $CK = 4$.

Так как точка K лежит на отрезке CD, то $KD = CD - CK = 6 - 4 = 2$.

Подставим известные значения в пропорцию: $${8 \over x} = {4 \over 2}$$ $${8 \over x} = 2$$ $$x = {8 \over 2} = 4$$

Ответ: 4

б)

В трапеции ABCD основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Рассмотрим треугольники $ΔABC$ и $ΔDCA$.

1. $∠BCA = ∠CAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

2. $∠ABC = ∠ACD$ по условию (углы отмечены на рисунке как равные).

Следовательно, треугольники $ΔABC$ и $ΔDCA$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно: $${BC \over AC} = {AC \over AD} = {AB \over CD}$$

Нам известны длины $BC = 4$, $AD = 9$ и $AC = x$. Подставим эти значения в первую часть пропорции: $${4 \over x} = {x \over 9}$$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $$x^2 = 4 \cdot 9$$ $$x^2 = 36$$

Так как длина отрезка является положительной величиной, $x = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: 6

в)

Фигура ABCD — прямоугольник, поэтому все его углы прямые, а противолежащие стороны равны. Имеем: $AB=15$, $AD=BC=20$, $∠ABC = 90°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABC$. Катеты $AB = 15$ и $BC = 20$. Диагональ AC является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее длину по теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$ $$AC = \sqrt{625} = 25$$

Отрезок $BK = x$ является высотой прямоугольного треугольника $ΔABC$, проведенной к гипотенузе AC.

Площадь треугольника $ΔABC$ можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = {1 \over 2} \cdot AB \cdot BC$

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = {1 \over 2} \cdot AC \cdot BK$

Приравняем оба выражения для площади: $${1 \over 2} \cdot AB \cdot BC = {1 \over 2} \cdot AC \cdot BK$$ $$AB \cdot BC = AC \cdot BK$$

Подставим известные значения: $$15 \cdot 20 = 25 \cdot x$$ $$300 = 25x$$ $$x = {300 \over 25} = 12$$

Ответ: 12