Номер 299, страница 139 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

299. Точки $M$, $N$ и $K$ — соответственно середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$, $MN : KN : MK = 5 : 3 : 4$, $P_{ABC} = 48$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Поскольку точки M, N и K являются серединами сторон AB, BC и AC треугольника ABC соответственно, то отрезки MN, NK и MK являются средними линиями этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:

• $MN = \frac{1}{2} AC$
• $KN = \frac{1}{2} AB$
• $MK = \frac{1}{2} BC$

Из этого следует, что периметр треугольника MNK ($P_{MNK}$), образованного средними линиями, равен половине периметра исходного треугольника ABC ($P_{ABC}$):

$P_{MNK} = MN + KN + MK = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}(AC + AB + BC) = \frac{1}{2} P_{ABC}$

Используя данное в условии значение периметра треугольника ABC, $P_{ABC} = 48$ см, найдем периметр треугольника MNK:

$P_{MNK} = \frac{1}{2} \times 48 = 24$ см.

В условии также дано соотношение сторон треугольника MNK: $MN : KN : MK = 5 : 3 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон треугольника MNK можно выразить как $MN = 5x$, $KN = 3x$ и $MK = 4x$.

Сумма длин сторон треугольника MNK составляет его периметр:

$P_{MNK} = 5x + 3x + 4x = 12x$

Теперь мы можем найти значение $x$, приравняв два выражения для периметра $P_{MNK}$:

$12x = 24 \implies x = \frac{24}{12} = 2$ см.

Зная $x$, вычислим точные длины сторон треугольника MNK:

• $MN = 5 \times 2 = 10$ см
• $KN = 3 \times 2 = 6$ см
• $MK = 4 \times 2 = 8$ см

Теперь, используя свойство средних линий, найдем длины сторон исходного треугольника ABC:

• $AC = 2 \times MN = 2 \times 10 = 20$ см
• $AB = 2 \times KN = 2 \times 6 = 12$ см
• $BC = 2 \times MK = 2 \times 8 = 16$ см

Для нахождения площади треугольника ABC ($S_{ABC}$) можно использовать формулу Герона, но сначала проверим, не является ли треугольник прямоугольным. Для этого проверим выполнение теоремы Пифагора для его сторон (12 см, 16 см, 20 см):

$AB^2 + BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$AC^2 = 20^2 = 400$

Поскольку $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B ($\angle B = 90^\circ$). Его катеты — это стороны AB и BC, а гипотенуза — AC.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.