Номер 295, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

295. Докажите, что равнобедренные треугольники на рисунке 277 подобны. Найдите отношение периметров этих треугольников: $P_{ABC} : P_{KNM}$.

Рис. 277

Докажите, что равнобедренные треугольники на рисунке 277 подобны

1. Рассмотрим треугольник $ABC$.
По отметкам на сторонах $AC$ и $BC$ видно, что они равны. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle A = \angle B = 68^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $C$ равен: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $KNM$.
По отметкам на сторонах $MN$ и $MK$ видно, что они равны. Следовательно, треугольник $KNM$ является равнобедренным с основанием $NK$.
Угол при вершине $M$ дан и равен $\angle M = 44^\circ$.
Углы при основании $NK$ равны: $\angle N = \angle K$.
Найдем их величину: $\angle N = \angle K = (180^\circ - \angle M) / 2 = (180^\circ - 44^\circ) / 2 = 136^\circ / 2 = 68^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $KNM$ равны $68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$.

3. Сравним углы треугольников $ABC$ и $KNM$:
$\angle A = \angle N = 68^\circ$
$\angle B = \angle K = 68^\circ$
$\angle C = \angle M = 44^\circ$
Поскольку все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
Ответ: Треугольники $ABC$ и $KNM$ подобны, так как их углы соответственно равны ($68^\circ, 68^\circ, 44^\circ$).

Найдите отношение периметров этих треугольников: $P_{ABC} : P_{KNM}$

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон.
В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ является основанием и лежит напротив угла $\angle C = 44^\circ$. Длина $AB = 24$.
В треугольнике $KNM$ сторона $NK$ является основанием и лежит напротив угла $\angle M = 44^\circ$. Длина $NK = 16$.
Стороны $AB$ и $NK$ являются соответственными, так как лежат напротив равных углов.
Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение соответственных сторон: $k = \frac{AB}{NK} = \frac{24}{16}$
Сократим дробь: $k = \frac{24}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{3}{2}$
Отношение периметров равно коэффициенту подобия: $\frac{P_{ABC}}{P_{KNM}} = k = \frac{3}{2}$
Таким образом, $P_{ABC} : P_{KNM} = 3:2$.
Ответ: $3:2$.