Номер 3.188, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.188*. Найдите сумму целых отрицательных чисел, которые не являются решением неравенства $\frac{1}{2 - x} + \frac{5}{2 + x} < 1$.

Для нахождения суммы целых отрицательных чисел, которые не являются решением неравенства, необходимо определить множество всех значений $x$, которые не удовлетворяют данному неравенству. Это означает, что мы ищем значения $x$, для которых выполняется противоположное неравенство или для которых выражение в левой части не определено.

Исходное неравенство:

$$ \frac{1}{2-x} + \frac{5}{2+x} < 1 $$

Числа, которые не являются решением, удовлетворяют условию:

$$ \frac{1}{2-x} + \frac{5}{2+x} \ge 1 $$

1. Решение неравенства

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю $(2-x)(2+x) = 4-x^2$.

$$ \frac{1}{2-x} + \frac{5}{2+x} - 1 \ge 0 $$

$$ \frac{1(2+x) + 5(2-x) - 1(4-x^2)}{(2-x)(2+x)} \ge 0 $$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$$ \frac{2+x+10-5x-4+x^2}{4-x^2} \ge 0 $$

$$ \frac{x^2 - 4x + 8}{4-x^2} \ge 0 $$

2. Анализ числителя и знаменателя

Рассмотрим числитель $f(x) = x^2 - 4x + 8$. Найдем его дискриминант для определения корней:

$$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 $$

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1$ положителен, парабола $y = x^2 - 4x + 8$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть числитель всегда положителен при любом $x$.

Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Для того чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть строго больше нуля (равенство нулю недопустимо, так как знаменатель не может быть равен нулю).

$$ 4-x^2 > 0 $$

$$ x^2 < 4 $$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2, 2)$.

3. Учет области определения

Исходное выражение $\frac{1}{2-x} + \frac{5}{2+x}$ не определено, если один из знаменателей равен нулю. Это происходит при:

• $2-x=0 \implies x=2$
• $2+x=0 \implies x=-2$

Эти значения $x$ также не являются решениями исходного неравенства, так как для них левая часть не существует.

Таким образом, множество всех чисел, которые не являются решением исходного неравенства, состоит из интервала $(-2, 2)$ и точек $x=-2$ и $x=2$. Объединив их, получаем отрезок $[-2, 2]$.

4. Нахождение суммы целых отрицательных чисел

Теперь из множества $[-2, 2]$ выберем все целые отрицательные числа. Целые числа, входящие в этот отрезок: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Из них отрицательными являются: $-2$ и $-1$.

Найдем их сумму:

$$ (-2) + (-1) = -3 $$

Ответ: -3.