Номер 3.194, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.194. Решите неравенство методом интервалов, используя алгоритм:

а) $\frac{x-7}{x-3} < 0$;

б) $\frac{x-9}{x+5} > 0$;

в) $\frac{2x+17}{x+3} \le 0$;

г) $\frac{x}{5x+2} \ge 0$.

Для решения данных дробно-рациональных неравенств воспользуемся методом интервалов. Алгоритм решения следующий:

1. Переносим все члены неравенства в одну часть, чтобы с другой стороны был ноль. Во всех предложенных задачах это уже сделано.
2. Находим нули числителя и нули знаменателя. Нули знаменателя - это точки, в которых функция не определена.
3. Отмечаем найденные точки на числовой прямой. Нули знаменателя всегда отмечаются "выколотыми" (пустыми) точками, так как деление на ноль невозможно. Нули числителя отмечаются "закрашенными" точками, если неравенство нестрогое ($\le$ или $\ge$), и "выколотыми", если неравенство строгое (< или >).
4. Определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов, подставляя любое значение из этого интервала в исходное выражение.
5. Выбираем интервалы, которые соответствуют знаку неравенства, и записываем ответ.

а) $\frac{x-7}{x-3} < 0$

1. Найдём нули числителя и знаменателя:

• $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$
• $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

2. Отметим точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), обе точки будут выколотыми. Точки $x=3$ и $x=7$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 3)$, $(3; 7)$ и $(7; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(7; +\infty)$: возьмем $x=10$. $\frac{10-7}{10-3} = \frac{3}{7} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(3; 7)$: возьмем $x=5$. $\frac{5-7}{5-3} = \frac{-2}{2} = -1 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty; 3)$: возьмем $x=0$. $\frac{0-7}{0-3} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} > 0$. Знак "+".

4. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, поэтому выбираем интервал со знаком "–".

Ответ: а) $x \in (3; 7)$.

б) $\frac{x-9}{x+5} > 0$

1. Найдём нули числителя и знаменателя:

• $x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9$
• $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$

2. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство строгое ($>0$), поэтому обе точки выколотые. Точки $x=-5$ и $x=9$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 9)$ и $(9; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(9; +\infty)$: возьмем $x=10$. $\frac{10-9}{10+5} = \frac{1}{15} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-5; 9)$: возьмем $x=0$. $\frac{0-9}{0+5} = -\frac{9}{5} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-10$. $\frac{-10-9}{-10+5} = \frac{-19}{-5} > 0$. Знак "+".

4. Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: б) $x \in (-\infty; -5) \cup (9; +\infty)$.

в) $\frac{2x+17}{x+3} \le 0$

1. Найдём нули числителя и знаменателя:

• $2x + 17 = 0 \Rightarrow 2x = -17 \Rightarrow x = -\frac{17}{2} = -8.5$
• $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

2. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому ноль числителя $x=-8.5$ будет закрашенной точкой. Ноль знаменателя $x=-3$ всегда выколотая точка. Точки делят прямую на интервалы: $(-\infty; -8.5]$, $[-8.5; -3)$ и $(-3; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(-3; +\infty)$: возьмем $x=0$. $\frac{2(0)+17}{0+3} = \frac{17}{3} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-8.5; -3)$: возьмем $x=-5$. $\frac{2(-5)+17}{-5+3} = \frac{-10+17}{-2} = \frac{7}{-2} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty; -8.5)$: возьмем $x=-10$. $\frac{2(-10)+17}{-10+3} = \frac{-3}{-7} > 0$. Знак "+".

4. Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю, поэтому выбираем интервал со знаком "–" и включаем закрашенную точку.

Ответ: в) $x \in [-\boldsymbol{8}\frac{1}{2}; -3)$.

г) $\frac{x}{5x+2} \ge 0$

1. Найдём нули числителя и знаменателя:

• $x = 0$
• $5x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{5} = -0.4$

2. Отметим точки на числовой прямой. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому ноль числителя $x=0$ будет закрашенной точкой. Ноль знаменателя $x=-2/5$ всегда выколотая точка. Точки делят прямую на интервалы: $(-\infty; -2/5)$, $(-2/5; 0]$ и $[0; +\infty)$.

3. Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$. $\frac{1}{5(1)+2} = \frac{1}{7} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-2/5; 0)$: возьмем $x=-0.2$. $\frac{-0.2}{5(-0.2)+2} = \frac{-0.2}{-1+2} = \frac{-0.2}{1} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty; -2/5)$: возьмем $x=-1$. $\frac{-1}{5(-1)+2} = \frac{-1}{-3} > 0$. Знак "+".

4. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю, поэтому выбираем интервалы со знаком "+" и включаем закрашенную точку.

Ответ: г) $x \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup [0; +\infty)$.