Номер 3.197, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.197. Решите систему неравенств

Для решения данной системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений.

1. Решение первого неравенства $\frac{x-8}{3-x} \le 0$

Это дробно-рациональное неравенство, которое решается методом интервалов.
Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

• Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое ($\le$).
• Нуль знаменателя: $3 - x = 0 \implies x = 3$. Эта точка всегда исключается из решения (выкалывается), так как деление на ноль недопустимо.

Наносим точки $x=3$ (выколотая) и $x=8$ (закрашенная) на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения $\frac{x-8}{3-x}$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty, 3)$: возьмем $x=0$. $\frac{0-8}{3-0} = -\frac{8}{3} < 0$. Знак "минус".
• Интервал $(3, 8]$: возьмем $x=5$. $\frac{5-8}{3-5} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} > 0$. Знак "плюс".
• Интервал $[8, +\infty)$: возьмем $x=10$. $\frac{10-8}{3-10} = \frac{2}{-7} < 0$. Знак "минус".

Нам нужны интервалы, где значение выражения меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup [8, +\infty)$.

2. Решение второго неравенства $(x-1)(x-2)(x+7) < 0$

Это полиномиальное неравенство, которое также решается методом интервалов.
Найдем корни многочлена в левой части:
$(x-1)(x-2)(x+7) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = -7$.
Поскольку неравенство строгое ($<$), все эти точки будут выколотыми на числовой оси.
Точки $-7, 1, 2$ разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знаки выражения на них, начав с крайнего правого:

• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$. $(3-1)(3-2)(3+7) = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 > 0$. Знак "плюс".
• Поскольку все корни имеют нечетную кратность (1), знаки на интервалах будут чередоваться:
  Интервал $(1, 2)$: знак "минус".
  Интервал $(-7, 1)$: знак "плюс".
  Интервал $(-\infty, -7)$: знак "минус".

Нам нужны интервалы, где значение выражения меньше нуля. Это интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, 2)$.

3. Нахождение решения системы неравенств

Теперь найдем пересечение (общую часть) решений, полученных на предыдущих шагах.

• Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 3) \cup [8, +\infty)$.
• Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, 2)$.

Изобразим эти множества на одной числовой прямой. Пересечением будут интервалы, принадлежащие обоим решениям.
Пересечение множества $(-\infty, 3) \cup [8, +\infty)$ с множеством $(-\infty, -7) \cup (1, 2)$ состоит из двух интервалов:
$(-\infty, -7)$ и $(1, 2)$.
Таким образом, решением системы является объединение этих интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, 2)$.