Номер 3.190, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3x^2 - 11x + 22}{x^2 - 4x - 5} - 3 \ge 0$
$\frac{3x^2 - 11x + 22 - 3(x^2 - 4x - 5)}{x^2 - 4x - 5} \ge 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{3x^2 - 11x + 22 - 3x^2 + 12x + 15}{x^2 - 4x - 5} \ge 0$
$\frac{(3x^2 - 3x^2) + (-11x + 12x) + (22 + 15)}{x^2 - 4x - 5} \ge 0$
$\frac{x + 37}{x^2 - 4x - 5} \ge 0$
Ответ: неравенство приведено к виду $\frac{x + 37}{x^2 - 4x - 5} \ge 0$.

Для применения метода интервалов найдем корни числителя и знаменателя.

Нуль числителя (значение, при котором дробь равна нулю):
$x + 37 = 0 \implies x_0 = -37$

Нули знаменателя (значения, при которых дробь не определена):
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Отсюда $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.
Знаменатель можно разложить на множители: $(x - 5)(x + 1)$.

Ответ: нуль числителя $x = -37$; нули знаменателя $x = -1, x = 5$.

Отметим на числовой оси точки $-37, -1, 5$. Точка $x=-37$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точки $x=-1$ и $x=5$ будут выколотыми, так как они обращают знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения $\frac{x + 37}{(x + 1)(x - 5)}$ на полученных интервалах:

• Интервал $(-\infty; -37]$: знак "минус" (-).
• Интервал $[-37; -1)$: знак "плюс" (+).
• Интервал $(-1; 5)$: знак "минус" (-).
• Интервал $(5; +\infty)$: знак "плюс" (+).

Поскольку знак неравенства $\ge 0$, нас интересуют промежутки, где выражение положительно или равно нулю.

Ответ: решением неравенства является объединение промежутков $x \in [-37, -1) \cup (5, +\infty)$.

Требуется найти количество целых отрицательных чисел, удовлетворяющих неравенству. Выберем их из полученного множества решений $x \in [-37, -1) \cup (5, +\infty)$.

Промежуток $(5, +\infty)$ не содержит отрицательных чисел.

Промежуток $[-37, -1)$ содержит целые отрицательные числа от $-37$ до $-2$ включительно. Число $-1$ не входит в промежуток.

Список этих чисел: $-37, -36, \dots, -2$.

Для подсчета их количества вычтем из последнего числа первое и прибавим единицу:
$N = (-2) - (-37) + 1 = -2 + 37 + 1 = 35 + 1 = 36$.

Ответ: число целых отрицательных решений равно 36.