Номер 3.185, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.185. Туристы на моторной лодке планируют проплыть 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения, затратив на весь путь не более 4 ч. Какой может быть собственная скорость лодки, если скорость течения реки составляет $2 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$?

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. По условию, скорость течения реки составляет 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(v + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(v - 2)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v > 2$.

Время, затраченное на путь в 15 км по течению, составляет $t_1 = \frac{15}{v + 2}$ ч.

Время, затраченное на такой же путь против течения, составляет $t_2 = \frac{15}{v - 2}$ ч.

На весь путь туристы планируют затратить не более 4 часов, что означает, что общее время $t_1 + t_2$ должно быть меньше или равно 4 часам. Составим и решим неравенство:

Приведем левую часть к общему знаменателю:

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

Чтобы сделать старший коэффициент в числителе положительным, умножим числитель на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

Найдем корни числителя и знаменателя. Корни числителя находим из уравнения $4v^2 - 30v - 16 = 0$. Упростим его, разделив на 2: $2v^2 - 15v - 8 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289$.
$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{4} = \frac{15 \pm 17}{4}$.
$v_1 = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8$.
$v_2 = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Корни знаменателя находим из уравнения $v^2 - 4 = 0$, откуда $v_3 = -2$ и $v_4 = 2$.

Теперь неравенство можно записать в виде разложения на множители:

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки -2, -0.5, 2, 8. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -2) \cup [-0.5; 2) \cup [8; +\infty)$.

Учитывая физический смысл задачи (ОДЗ), где собственная скорость лодки $v > 2$, выбираем только тот промежуток, который удовлетворяет этому условию. Таким промежутком является $[8; +\infty)$.

Какой может быть собственная скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч? Ответ: Собственная скорость лодки должна быть не менее 8 км/ч.