Номер 3.189, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.189*. Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 6x + 9)}{x - 3} \ge 0.$

Для решения данного неравенства преобразуем его левую часть. Заметим, что выражения в скобках в числителе являются полными квадратами.

1. Разложим на множители выражения в числителе:

• $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ (квадрат суммы)
• $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ (квадрат разности)

2. Подставим разложенные выражения обратно в неравенство:

$$ \frac{(x+1)^2 (x-3)^2}{x - 3} \ge 0 $$

3. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$$ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 $$

4. Учитывая ОДЗ ($x \neq 3$), мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$$ (x+1)^2 (x-3) \ge 0 $$

5. Решим полученное неравенство. Произведение равно нулю или больше нуля.

Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ при любом $x$.

• Если $x = -1$, то $(x+1)^2 = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot (-1-3) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное утверждение, значит $x=-1$ является решением.
• Если $x \neq -1$, то $(x+1)^2 > 0$. Чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положительным:

  $$ x - 3 > 0 \implies x > 3 $$

6. Объединим полученные результаты. Решением неравенства являются точка $x=-1$ и интервал $(3, +\infty)$.

Таким образом, множество решений неравенства: $x \in \{-1\} \cup (3, +\infty)$.

7. Найдём наименьшее целое решение из этого множества. Целыми решениями являются число -1, а также все целые числа, большие 3 (то есть 4, 5, 6 и так далее).

Наименьшим из этих целых чисел является -1.

Ответ: -1