Номер 285, страница 69 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Частота вращения точки А: $ \nu_A = 3 \, \text{с}^{-1} $

Частота вращения точки В: $ \nu_B = 5 \, \text{с}^{-1} $

Начальный угол между радиусами: $ \varphi_0 = \frac{2\pi}{5} $

Перевод в систему СИ:
Частоты уже даны в единицах СИ (Гц = $ \text{с}^{-1} $):
$ \nu_A = 3 \, \text{Гц} $
$ \nu_B = 5 \, \text{Гц} $
Угол дан в радианах, что является стандартной единицей для расчетов в СИ:
$ \varphi_0 = \frac{2\pi}{5} \, \text{рад} $

Найти:

Минимальное время $ t $, через которое точка В догонит точку А.

Решение:

Движение точек по окружности описывается их угловыми скоростями. Угловая скорость $ \omega $ связана с частотой $ \nu $ соотношением $ \omega = 2\pi\nu $.

Найдем угловые скорости точек А и В:

Для точки А: $ \omega_A = 2\pi\nu_A = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \, \text{рад/с} $

Для точки В: $ \omega_B = 2\pi\nu_B = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \, \text{рад/с} $

Поскольку $ \omega_B > \omega_A $, точка В движется быстрее точки А. Будем считать, что "догонит" означает, что точка В, двигаясь быстрее, в какой-то момент времени окажется в той же точке окружности, что и точка А.

Рассмотрим движение точки В относительно точки А. Относительная угловая скорость, с которой точка В опережает точку А, равна разности их угловых скоростей:

$ \omega_{отн} = \omega_B - \omega_A = 10\pi - 6\pi = 4\pi \, \text{рад/с} $

В начальный момент времени, согласно рисунку, точка В опережает точку А на угол $ \varphi_0 $. Чтобы точка В догнала точку А в первый раз, она должна пройти относительно точки А угловое расстояние, равное полной окружности ($ 2\pi $) минус начальное опережение ($ \varphi_0 $). Иными словами, точка В должна "наверстать" один круг относительно точки А.

Таким образом, угловое расстояние, которое должна покрыть точка В относительно точки А, равно:

$ \Delta\varphi = 2\pi - \varphi_0 = 2\pi - \frac{2\pi}{5} = \frac{10\pi - 2\pi}{5} = \frac{8\pi}{5} \, \text{рад} $

Время, необходимое для этого, можно найти, разделив относительное угловое расстояние на относительную угловую скорость:

$ t = \frac{\Delta\varphi}{\omega_{отн}} = \frac{8\pi / 5}{4\pi} = \frac{8\pi}{5 \cdot 4\pi} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0.4 \, \text{с} $

Это и есть минимальное время, через которое точка В догонит точку А.

Ответ: $ t = 0.4 \, \text{с} $.