Номер 284, страница 69 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус окружности: $R$
Время изменения модуля перемещения от наибольшего до наименьшего значения: $t$
Скорость точки по модулю постоянна: $v = \text{const}$

Найти:

Модуль линейной скорости точки: $v$

Решение:

Точка движется по окружности радиуса $R$ с постоянной по модулю скоростью $v$. Перемещение точки — это вектор, соединяющий ее начальное положение с текущим. Модуль перемещения $|\Delta\vec{r}|$ — это длина хорды, соединяющей начальную и текущую точки.

Зафиксируем начальное положение точки, из которого мы будем измерять перемещение. Пусть это будет точка $A$.

Наибольшее значение модуль перемещения достигает тогда, когда точка оказывается в диаметрально противоположном положении. Обозначим эту точку $B$. В этом случае модуль перемещения равен диаметру окружности.
$|\Delta\vec{r}|_{max} = 2R$

Наименьшее значение модуля перемещения равно нулю. Это происходит, когда точка возвращается в исходное положение $A$, то есть когда ее текущее положение совпадает с начальным.
$|\Delta\vec{r}|_{min} = 0$

По условию задачи, $t$ — это минимальное время, за которое модуль перемещения изменяется от своего наибольшего значения ($2R$) до наименьшего ($0$). Это соответствует времени, за которое точка перемещается из положения $B$ (диаметрально противоположного начальному) в положение $A$ (начальное).

Путь $s$, который точка должна пройти по дуге окружности, чтобы переместиться из точки $B$ в точку $A$, равен половине длины окружности. Длина всей окружности равна $L = 2\pi R$.
Следовательно, путь $s$ равен:
$s = \frac{L}{2} = \frac{2\pi R}{2} = \pi R$

Поскольку точка движется с постоянной по модулю линейной скоростью $v$, время движения $t$ можно найти по формуле, связывающей путь, скорость и время:
$t = \frac{s}{v}$

Подставим в эту формулу найденное значение пути $s$:
$t = \frac{\pi R}{v}$

Из полученного соотношения выразим искомую линейную скорость $v$:
$v = \frac{\pi R}{t}$

Ответ: $v = \frac{\pi R}{t}$.