Номер 286, страница 69 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Период обращения первого велосипедиста $T_1 = 6,0$ мин
Период обращения второго велосипедиста $T_2 = 9,0$ мин

$T_1 = 6,0 \cdot 60\text{ с} = 360\text{ с}$
$T_2 = 9,0 \cdot 60\text{ с} = 540\text{ с}$

Найти:
Время между двумя последовательными встречами $t$ - ?

Решение:
Эту задачу можно решить, используя понятие относительной скорости. Пусть длина кольцевой дороги равна $L$.
Скорость первого велосипедиста равна $v_1 = \frac{L}{T_1}$.
Скорость второго велосипедиста равна $v_2 = \frac{L}{T_2}$.
Поскольку велосипедисты движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость (скорость сближения) равна сумме их скоростей:
$v_{отн} = v_1 + v_2 = \frac{L}{T_1} + \frac{L}{T_2} = L \left(\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}\right)$

Для того чтобы велосипедисты встретились снова после первой встречи, они должны вместе преодолеть расстояние, равное длине всей кольцевой дороги $L$. Время $t$ между встречами можно найти по формуле:
$t = \frac{L}{v_{отн}}$
Подставим выражение для относительной скорости:
$t = \frac{L}{L \left(\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}}$
Приведем знаменатель к общему и упростим выражение:
$t = \frac{1}{\frac{T_2 + T_1}{T_1 T_2}} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$

Заметим, что условие в задаче "скорости, модули которых одинаковы" противоречит данным о разных периодах ($T_1 \ne T_2$), так как для одной и той же трассы это означало бы $v_1 \ne v_2$. Поэтому это условие следует считать ошибкой в тексте и не учитывать при решении.

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Расчеты можно производить в минутах, так как размерность сократится и ответ также будет в минутах.
$t = \frac{6,0 \text{ мин} \cdot 9,0 \text{ мин}}{6,0 \text{ мин} + 9,0 \text{ мин}} = \frac{54,0}{15,0} \text{ мин} = 3,6 \text{ мин}$

Проверим расчет в системе СИ:
$t = \frac{360 \text{ с} \cdot 540 \text{ с}}{360 \text{ с} + 540 \text{ с}} = \frac{194400}{900} \text{ с} = 216 \text{ с}$
Переведем секунды в минуты: $216 \text{ с} / 60 = 3,6 \text{ мин}$.
Результаты совпадают.

Ответ: время между двумя последовательными встречами велосипедистов составляет 3,6 мин.