Номер 31, страница 15 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Скорость жука относительно диска: $v_{отн} = \text{const}$

Жук ползет от центра к краю.

Диск вращается.

Найти:

1. Траекторию движения жука относительно центра диска.

2. Траекторию движения жука относительно земли.

Решение:

Рассмотрим движение жука в двух разных системах отсчета.

Траектория движения жука относительно центра диска

Система отсчета, связанная с диском, является вращающейся (неинерциальной). В этой системе отсчета диск неподвижен. Жук ползет от центра к краю со скоростью, модуль которой постоянен. Его движение направлено вдоль радиуса диска. Следовательно, в этой системе отсчета траектория движения жука представляет собой прямую линию, а именно отрезок радиуса диска, соединяющий центр и точку на краю.

Ответ: Траектория движения жука относительно центра диска — это прямая линия (радиус диска).

Траектория движения жука относительно земли

Система отсчета, связанная с землей, является инерциальной. В этой системе отсчета движение жука является сложным, так как оно складывается из двух одновременных движений:
1. Относительное движение: движение жука по поверхности диска со скоростью $ \vec{v}_{отн} $, которая направлена радиально от центра и постоянна по модулю.
2. Переносное движение: вращение диска вместе с жуком вокруг центра. Скорость этого движения $ \vec{v}_{пер} $ для точки, где находится жук, направлена по касательной к окружности и зависит от расстояния $r$ до центра ($v_{пер} = \omega r$, где $\omega$ — угловая скорость вращения диска).

Абсолютная скорость жука относительно земли $ \vec{v}_{абс} $ является векторной суммой относительной и переносной скоростей: $ \vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер} $.

Чтобы определить форму траектории, введем полярную систему координат $(r, \varphi)$, начало которой совпадает с центром диска. Пусть жук начинает движение в момент времени $t=0$ из центра.
Расстояние жука от центра изменяется со временем по закону: $r(t) = v_{отн} \cdot t$.
Угол поворота радиуса, по которому ползет жук, изменяется из-за вращения диска по закону: $\varphi(t) = \omega \cdot t$.

Чтобы найти уравнение траектории, необходимо исключить из этих уравнений параметр времени $t$. Из первого уравнения выразим время: $t = r / v_{отн}$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$\varphi = \omega \cdot \frac{r}{v_{отн}}$
Отсюда можно выразить зависимость расстояния от угла поворота:
$r = \frac{v_{отн}}{\omega} \varphi$

Это уравнение является уравнением спирали Архимеда. Траектория начинается в центре диска и по мере движения жука к краю раскручивается.

Ответ: Траектория движения жука относительно земли — это спираль Архимеда.