Номер 2, страница 169 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. Недеформированная пружина жесткостью $k = 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$ под действием внешней силы удлинилась на $\Delta l_1 = 3,0$ см. Определите работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы удлинить пружину еще на $\Delta l_2 = 2,0$ см. Сравните эту работу с работой сил упругости пружины и с изменением ее потенциальной энергии.

Дано:

Жесткость пружины: $k = 200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
Начальное удлинение: $\Delta l_1 = 3,0 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$
Дополнительное удлинение: $\Delta l_2 = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

$A_{внеш}$ - работу внешней силы для дополнительного удлинения;
$A_{упр}$ - работу силы упругости при дополнительном удлинении;
$\Delta E_p$ - изменение потенциальной энергии при дополнительном удлинении;
Сравнить $A_{внеш}$, $A_{упр}$ и $\Delta E_p$.

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется по формуле:

$E_p = \frac{k x^2}{2}$

где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее удлинение относительно положения равновесия.

Начальное удлинение пружины (состояние 1) составляет $x_1 = \Delta l_1 = 0,03$ м.

Конечное удлинение пружины (состояние 2) после дополнительного растяжения составляет $x_2 = \Delta l_1 + \Delta l_2 = 0,03 \text{ м} + 0,02 \text{ м} = 0,05$ м.

Определите работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы удлинить пружину еще на $\Delta l_2 = 2,0$ см

Работа, совершаемая внешней силой при медленном (квазистатическом) растяжении пружины, равна изменению ее потенциальной энергии $\Delta E_p$.

$A_{внеш} = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$

Распишем изменение потенциальной энергии через начальное и конечное удлинения:

$A_{внеш} = \frac{k x_2^2}{2} - \frac{k x_1^2}{2} = \frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2)$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$A_{внеш} = \frac{200 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}{2} \cdot ((0,05 \text{ м})^2 - (0,03 \text{ м})^2) = 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (0,0025 \text{ м}^2 - 0,0009 \text{ м}^2) = 100 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 0,0016 \text{ м}^2 = 0,16 \text{ Дж}$.

Ответ: работа, которую должна совершить внешняя сила, равна 0,16 Дж.

Сравните эту работу с работой сил упругости пружины

Сила упругости является консервативной силой. Ее работа $A_{упр}$ равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с обратным знаком:

$A_{упр} = -\Delta E_p = -(E_{p2} - E_{p1})$

Поскольку работа внешней силы $A_{внеш} = \Delta E_p$, то работа силы упругости связана с ней следующим соотношением:

$A_{упр} = -A_{внеш}$

Вычислим работу силы упругости:

$A_{упр} = -0,16 \text{ Дж}$.

Работа силы упругости отрицательна, так как вектор силы упругости направлен в сторону, противоположную вектору перемещения конца пружины при ее растяжении.

Ответ: работа сил упругости пружины равна по модулю работе внешней силы, но противоположна ей по знаку ($A_{упр} = -A_{внеш}$).

Сравните эту работу с изменением ее потенциальной энергии

Изменение потенциальной энергии пружины $\Delta E_p$ по определению равно разности ее конечной и начальной потенциальных энергий.

$\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2)$

Как мы уже вычислили при нахождении работы внешней силы:

$\Delta E_p = 0,16 \text{ Дж}$.

Таким образом, работа внешней силы в данном процессе в точности равна изменению (увеличению) потенциальной энергии пружины.

$A_{внеш} = \Delta E_p$

Ответ: работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии пружины ($A_{внеш} = \Delta E_p = 0,16$ Дж).