Номер 10, страница 165 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

10. Определите работу силы тяги двигателя лифта, который поднимает кабину массой $m = 400 \text{ кг}$ на высоту $h = 15 \text{ м}$ с ускорением, направленным вертикально вверх. Модуль ускорения $a = 0,60 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Какую мощность развивает эта сила в конце подъема?

Дано:

Масса кабины лифта, $m = 400$ кг

Высота подъема, $h = 15$ м

Ускорение кабины, $a = 0,60$ м/с²

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Работу силы тяги, $A_{тяги}$

Мощность в конце подъема, $P_{кон}$

Решение:

Задача решается в два этапа: сначала определим работу силы тяги, а затем — мощность, развиваемую этой силой в конце подъема.

Определение работы силы тяги двигателя лифта

Работа постоянной силы вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$, где $F$ – модуль силы, $s$ – модуль перемещения, а $\alpha$ – угол между направлениями силы и перемещения. Сила тяги $F_{тяги}$ направлена вертикально вверх, совпадая с направлением перемещения $h$. Таким образом, $\alpha = 0$, и $\cos\alpha = 1$. Формула для работы силы тяги принимает вид:

$A_{тяги} = F_{тяги} \cdot h$

Для определения силы тяги $F_{тяги}$ воспользуемся вторым законом Ньютона. На кабину действуют две силы: направленная вверх сила тяги $F_{тяги}$ и направленная вниз сила тяжести $F_g = mg$. Равнодействующая этих сил сообщает кабине ускорение $a$, направленное вверх. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F}_{тяги} + m\vec{g}$

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, уравнение примет вид:

$ma = F_{тяги} - mg$

Отсюда находим силу тяги:

$F_{тяги} = ma + mg = m(a+g)$

Подставим числовые значения:

$F_{тяги} = 400 \text{ кг} \cdot (0,60 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) = 400 \text{ кг} \cdot 10,4 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 4160 \text{ Н}$

Теперь вычислим работу силы тяги:

$A_{тяги} = 4160 \text{ Н} \cdot 15 \text{ м} = 62400 \text{ Дж}$

Учитывая, что наименьшее число значащих цифр в исходных данных равно двум ($h=15$ м, $a=0,60$ м/с²), округлим результат до двух значащих цифр и выразим в килоджоулях:

$A_{тяги} \approx 62000 \text{ Дж} = 62 \text{ кДж}$

Ответ: работа силы тяги двигателя лифта равна 62 кДж.

Определение мощности, развиваемой этой силой в конце подъема

Мгновенная мощность определяется формулой $P = F \cdot v$, где $v$ – мгновенная скорость. Нам необходимо найти мощность в конце подъема, т.е. при достижении высоты $h$. Для этого сначала найдем скорость лифта $v_{кон}$ в этот момент.

Движение лифта является равноускоренным и начинается из состояния покоя ($v_0 = 0$). Скорость в конце пути $h$ можно найти из формулы, не содержащей время:

$h = \frac{v_{кон}^2 - v_0^2}{2a}$

Поскольку $v_0 = 0$, получаем:

$v_{кон}^2 = 2ah \Rightarrow v_{кон} = \sqrt{2ah}$

Подставим значения:

$v_{кон} = \sqrt{2 \cdot 0,60 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 15 \text{ м}} = \sqrt{18} \text{ м/с} \approx 4,24 \text{ м/с}$

Теперь вычислим мощность, используя найденные значения силы тяги и конечной скорости:

$P_{кон} = F_{тяги} \cdot v_{кон} = 4160 \text{ Н} \cdot \sqrt{18} \text{ м/с} \approx 17635 \text{ Вт}$

Округлим результат до двух значащих цифр и выразим в киловаттах:

$P_{кон} \approx 18000 \text{ Вт} = 18 \text{ кВт}$

Ответ: мощность, развиваемая силой тяги в конце подъема, равна 18 кВт.