Номер 5, страница 165 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. Чтобы растянуть пружину динамометра на $x = 2 \text{ см}$, необходимо совершить работу $A_1 = 5 \text{ Дж}$. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть эту пружину еще на $\Delta x = 2 \text{ см}$?

Дано:

$x_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$A_1 = 5 \text{ Дж}$
$\Delta x = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$\Delta A - ?$

Решение:

Работа, совершаемая при растяжении пружины, равна изменению ее потенциальной энергии. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ - жесткость пружины, а $x$ - ее удлинение.

Работа $A_1$, совершенная для растяжения пружины на величину $x_1 = 0.02 \text{ м}$, равна потенциальной энергии пружины при этом растяжении (считая, что начальное растяжение было равно нулю).

$A_1 = \frac{kx_1^2}{2}$

Из этой формулы мы можем выразить жесткость пружины $k$:

$k = \frac{2A_1}{x_1^2}$

Далее пружину растягивают еще на $\Delta x = 0.02 \text{ м}$. Конечное удлинение пружины $x_2$ от положения равновесия составит:

$x_2 = x_1 + \Delta x = 0.02 \text{ м} + 0.02 \text{ м} = 0.04 \text{ м}$

Полная работа $A_2$, которую нужно совершить, чтобы растянуть пружину от положения равновесия до удлинения $x_2$, равна:

$A_2 = \frac{kx_2^2}{2}$

Работа $\Delta A$, которую необходимо совершить, чтобы растянуть пружину от удлинения $x_1$ до удлинения $x_2$, равна разности работ $A_2$ и $A_1$:

$\Delta A = A_2 - A_1 = \frac{kx_2^2}{2} - \frac{kx_1^2}{2}$

Подставим в это выражение ранее найденное выражение для $k$:

$\Delta A = \frac{1}{2} \left( \frac{2A_1}{x_1^2} \right) x_2^2 - A_1 = A_1 \frac{x_2^2}{x_1^2} - A_1 = A_1 \left( \frac{x_2^2}{x_1^2} - 1 \right)$

Теперь подставим числовые значения:

$\Delta A = 5 \text{ Дж} \cdot \left( \frac{(0.04 \text{ м})^2}{(0.02 \text{ м})^2} - 1 \right) = 5 \text{ Дж} \cdot \left( \left(\frac{0.04}{0.02}\right)^2 - 1 \right) = 5 \text{ Дж} \cdot (2^2 - 1) = 5 \text{ Дж} \cdot (4 - 1) = 5 \text{ Дж} \cdot 3 = 15 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы растянуть пружину еще на 2 см, нужно совершить работу 15 Дж.