Номер 2.8, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.8. Определите, является ли функция $y = -x^2 - 4x - 3$ при $x \in (-2; +\infty)$ обратимой. Если функция обратима, то найдите обратную к ней функцию.

1. Определите, является ли функция $y = -x^2 - 4x - 3$ при $x \in (-2; +\infty)$ обратимой

Функция является обратимой на заданном промежутке, если она на нем строго монотонна (то есть либо строго возрастает, либо строго убывает). Для исследования функции на монотонность найдем ее производную:

$y' = (-x^2 - 4x - 3)' = -2x - 4$

Определим знак производной на интервале $(-2; +\infty)$. Найдем точку, в которой производная равна нулю:

$-2x - 4 = 0 \implies -2x = 4 \implies x = -2$

Для всех $x$ из интервала $(-2; +\infty)$ выполняется неравенство $x > -2$. Умножим обе части на $-2$ (при этом знак неравенства изменится на противоположный):

$-2x < 4$

Вычтем 4 из обеих частей:

$-2x - 4 < 0$

Поскольку производная $y' < 0$ на всем интервале $(-2; +\infty)$, функция является строго убывающей на этом промежутке. Строго монотонная функция является обратимой.

Ответ: Да, функция является обратимой на заданном промежутке.

2. Если функция обратима, то найдите обратную к ней функцию

Поскольку функция обратима, найдем для нее обратную. Для этого в уравнении $y = -x^2 - 4x - 3$ необходимо выразить переменную $x$ через $y$. Для удобства выделим полный квадрат:

$y = -(x^2 + 4x) - 3 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3 = -(x+2)^2 + 4 - 3 = 1 - (x+2)^2$

Теперь выразим $x$ из полученного уравнения $y = 1 - (x+2)^2$:

$(x+2)^2 = 1 - y$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x+2 = \pm\sqrt{1-y}$

$x = -2 \pm\sqrt{1-y}$

Мы получили два возможных решения для $x$. Чтобы выбрать правильное, воспользуемся исходным условием на область определения: $x \in (-2; +\infty)$, что эквивалентно неравенству $x > -2$.

• Решение $x_1 = -2 + \sqrt{1-y}$. Так как корень $\sqrt{1-y}$ должен быть вещественным и положительным (поскольку $x \ne -2$), то $x_1 > -2$. Этот вариант подходит.
• Решение $x_2 = -2 - \sqrt{1-y}$. Это выражение всегда меньше или равно $-2$, поэтому оно не удовлетворяет условию $x > -2$.

Следовательно, верное выражение для $x$ есть $x = -2 + \sqrt{1-y}$.

Для того чтобы записать обратную функцию, меняем местами переменные $x$ и $y$:

$y_{обр} = -2 + \sqrt{1 - x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Найдем область значений $y = 1-(x+2)^2$ на интервале $x \in (-2; +\infty)$. Так как $x > -2$, то $x+2 > 0$ и $(x+2)^2 > 0$. Тогда $-(x+2)^2 < 0$, и $1-(x+2)^2 < 1$. Таким образом, область значений исходной функции, а значит и область определения обратной, есть $(-\infty; 1)$.

Ответ: Обратная функция: $y = -2 + \sqrt{1 - x}$, ее область определения $x \in (-\infty; 1)$.