Номер 3.2, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.2. Какой из графиков, изображенных на рисунках 25–27, может быть графиком функции:

а) $y = |f(x)|;$

б) $y = f(|x|);$

в) $y = |f(|x|)|?$

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Для определения соответствия между функциями и графиками проанализируем, как преобразование с модулем влияет на вид графика функции $y=f(x)$.

а) $y = |f(x)|$

График функции $y = |f(x)|$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: часть графика, расположенная выше или на оси абсцисс ($f(x) \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс ($f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс. Ключевая особенность такого графика — все его точки имеют неотрицательные ординаты ($y \ge 0$), то есть весь график лежит в верхней полуплоскости.

• График на Рис. 25 имеет отрицательные значения $y$, поэтому он не подходит.
• График на Рис. 26 полностью расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он не является симметричным относительно оси ординат.
• График на Рис. 27 также полностью расположен в верхней полуплоскости.

Поскольку график функции $y=|f(x)|$ не обязательно должен быть симметричным, а график на Рис. 26 удовлетворяет единственному необходимому условию $y \ge 0$ и при этом несимметричен, он является наиболее подходящим кандидатом.Ответ: Рис. 26.

б) $y = f(|x|)$

График функции $y = f(|x|)$ получается из графика функции $y = f(x)$ следующим образом: часть графика для $x \ge 0$ (правая полуплоскость и ось ординат) остается без изменений, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси ординат, заменяя собой часть графика для $x < 0$. Ключевая особенность такого графика — он всегда симметричен относительно оси ординат (является графиком четной функции). При этом значения $y$ могут быть как положительными, так и отрицательными.

• График на Рис. 25 симметричен относительно оси ординат и принимает как положительные, так и отрицательные значения. Это полностью соответствует свойствам графика функции $y = f(|x|)$.
• График на Рис. 26 несимметричен, поэтому не подходит.
• График на Рис. 27 симметричен, но обладает дополнительным свойством ($y \ge 0$), что делает его кандидатом для более сложного преобразования.

Следовательно, график на Рис. 25 является графиком функции вида $y = f(|x|)$.Ответ: Рис. 25.

в) $y = |f(|x|)|$

Построение графика функции $y = |f(|x|)|$ объединяет два предыдущих преобразования. Следовательно, итоговый график должен обладать двумя свойствами одновременно:

1. Он должен быть симметричен относительно оси ординат (из-за $|x|$).
2. Он должен целиком лежать в верхней полуплоскости, $y \ge 0$ (из-за внешнего модуля).

• График на Рис. 25 симметричен, но имеет отрицательные значения $y$.
• График на Рис. 26 лежит в верхней полуплоскости, но несимметричен.
• График на Рис. 27 удовлетворяет обоим условиям: он симметричен относительно оси $y$ и все его значения неотрицательны.

Таким образом, график на Рис. 27 является графиком функции $y = |f(|x|)|$. Заметим также, что этот график можно получить из графика на Рис. 25, отразив его отрицательную часть ($y < 0$) относительно оси абсцисс.Ответ: Рис. 27.