Номер 3.8, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.8. Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4|x| + 3;$

б) $y = \sqrt{|x| - 2} + 1;$

в) $y = -3|x| + 4;$

г) $y = \frac{12}{|x|}.$

а) $y = x^2 - 4|x| + 3$

Для построения графика этой функции заметим, что она является четной, так как $x^2 = |x|^2$ и функция зависит только от $|x|$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. Рассмотрим случай $x \ge 0$.
   При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 4x + 3$.
   Это парабола с ветвями, направленными вверх.

   • Найдем координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
     $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
     Вершина находится в точке $(2, -1)$.
   • Найдем точки пересечения с осями координат:
     С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
     С осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

   Строим часть параболы для $x \ge 0$ по точкам $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(3, 0)$.

2. Построение для $x < 0$.
   Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.

   • Вершина $(2, -1)$ отобразится в точку $(-2, -1)$.
   • Точки пересечения с осью Ox $(1, 0)$ и $(3, 0)$ отобразятся в точки $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.
   • Точка пересечения с осью Oy $(0, 3)$ останется на месте.

В результате получаем график, состоящий из двух симметричных частей парабол.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет точку локального максимума $(0, 3)$ и две точки минимума $(-2, -1)$ и $(2, -1)$.

б) $y = \sqrt{|x| - 2} + 1$

1. Область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|x| - 2 \ge 0$, что равносильно $|x| \ge 2$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Симметрия.
Функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt{|-x| - 2} + 1 = \sqrt{|x| - 2} + 1 = f(x)$.
Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Построение графика.
Построим часть графика для $x \ge 2$ и отразим ее симметрично относительно оси Oy.

• При $x \ge 2$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = \sqrt{x - 2} + 1$.
• Этот график можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ с помощью сдвигов:
  1. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо, получаем $y = \sqrt{x - 2}$.
  2. Сдвиг графика $y = \sqrt{x - 2}$ на 1 единицу вверх, получаем $y = \sqrt{x - 2} + 1$.
• Начальная точка этой ветви графика находится при $x=2$: $y = \sqrt{2 - 2} + 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• Найдем еще одну точку: при $x=6$, $y = \sqrt{6-2} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3$. Точка $(6, 3)$.

Строим ветвь, выходящую из точки $(2, 1)$ и проходящую через $(6, 3)$. Затем отражаем ее симметрично относительно оси Oy. В результате получаем вторую ветвь, выходящую из точки $(-2, 1)$ и проходящую через $(-6, 3)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Одна ветвь начинается в точке $(2, 1)$ и уходит вправо-вверх, другая начинается в точке $(-2, 1)$ и уходит влево-вверх. Область значений функции: $[1, +\infty)$.

в) $y = -3|x| + 4$

График этой функции можно построить, раскрыв модуль $|x|$. Функция является четной ($f(-x) = -3|-x| + 4 = -3|x| + 4 = f(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.

Раскроем модуль:

• При $x \ge 0$ график представляет собой луч прямой $y = -3x + 4$. Эта прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(1, 1)$.
• При $x < 0$ график представляет собой луч прямой $y = 3x + 4$. Эта прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(-1, 1)$.

Обе части графика встречаются в точке $(0, 4)$, которая является вершиной.

Найдем точки пересечения с осью Ox ($y=0$):
$-3|x| + 4 = 0 \Rightarrow 3|x| = 4 \Rightarrow |x| = \frac{4}{3}$.
Следовательно, $x = \frac{4}{3}$ и $x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: График функции — это "галочка", с ветвями, направленными вниз. Вершина графика находится в точке $(0, 4)$. Ветви пересекают ось Ox в точках $(\pm$1$\frac{1}{3}, 0)$.

г) $y = \frac{12}{|x|}$

1. Область определения и симметрия.
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Функция является четной, так как $f(-x) = \frac{12}{|-x|} = \frac{12}{|x|} = f(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

2. Построение графика.
Построим график для $x > 0$ и отразим его относительно оси Oy.

• При $x > 0$ имеем $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = \frac{12}{x}$.
• Это гипербола, расположенная в первой координатной четверти. Оси координат являются ее асимптотами.
• Найдем несколько точек для построения:
  • $x=2, y=6$ -> $(2, 6)$
  • $x=3, y=4$ -> $(3, 4)$
  • $x=4, y=3$ -> $(4, 3)$
  • $x=6, y=2$ -> $(6, 2)$

Строим эту ветвь гиперболы. Затем, используя симметрию относительно оси Oy, строим вторую ветвь в левой полуплоскости. Она будет расположена во второй координатной четверти и будет симметрична первой ветви. Например, точкам $(2, 6)$ и $(3, 4)$ будут соответствовать симметричные точки $(-2, 6)$ и $(-3, 4)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в первой и второй координатных четвертях. График симметричен относительно оси Oy. Оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.