Номер 3.6, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.6. Постройте график функции:

а) $y = \left|\frac{6}{x-1}\right|$;

б) $y = \frac{6}{|x|-1}$;

В) $y = \left|\frac{6}{|x|-1}\right|$.

Для построения графиков функций, содержащих модуль, будем использовать метод последовательных преобразований, начиная с базовой функции.

а) $y = |\frac{6}{x-1}|$

Построение графика этой функции можно разбить на следующие этапы:

1. Строим график базовой функции $y_1 = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

2. Строим график функции $y_2 = \frac{6}{x-1}$. Этот график получается из графика $y_1 = \frac{6}{x}$ сдвигом вправо на 1 единицу вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=1$. Горизонтальная асимптота остается прежней: $y=0$.

3. Строим итоговый график $y = |\frac{6}{x-1}|$. Это преобразование означает, что вся часть графика $y_2$, которая находится ниже оси Ox (где значения $y_2$ отрицательны), симметрично отражается относительно оси Ox.

   • При $x > 1$ значение дроби $\frac{6}{x-1}$ положительно, поэтому график $y$ совпадает с графиком $y_2$.
   • При $x < 1$ значение дроби $\frac{6}{x-1}$ отрицательно. Поэтому эта часть графика $y_2$ (ветвь в IV четверти относительно своих асимптот) отражается вверх, в I-II четверти.

Ответ: График функции представляет собой две ветви, расположенные полностью выше оси Ox. Вертикальная асимптота — прямая $x=1$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=0$. Область определения: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $y \in (0; +\infty)$.

б) $y = \frac{6}{|x|-1}$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \frac{6}{|-x|-1} = \frac{6}{|x|-1} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

1. Рассмотрим функцию при $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{6}{x-1}$. Это правая часть гиперболы из предыдущего задания (для $x \ge 0$). Эта часть графика имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и пересекает ось Oy в точке $(0, \frac{6}{0-1}) = (0, -6)$.

2. Теперь используем свойство четности. Отражаем построенную для $x > 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy. Ветвь гиперболы, находящаяся справа от оси Oy, дублируется слева. При этом вертикальная асимптота $x=1$ также отражается и появляется вторая асимптота $x=-1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и состоит из трех частей. Две ветви расположены выше оси Ox при $|x|>1$ и стремятся к асимптотам $x=1$, $x=-1$ и $y=0$. Третья часть — параболообразная ветвь, расположенная ниже оси Ox между асимптотами $x=-1$ и $x=1$, с вершиной в точке $(0, -6)$. Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -6] \cup (0; +\infty)$.

в) $y = |\frac{6}{|x|-1}|$

Этот график можно получить из графика предыдущей функции $y_1 = \frac{6}{|x|-1}$, применив преобразование модуля ко всей функции.

1. Берем за основу график функции $y_1 = \frac{6}{|x|-1}$, построенный в пункте б).

2. Применяем преобразование $y = |y_1|$. Части графика $y_1$, которые находятся над осью Ox, остаются без изменений. Часть графика, которая находится под осью Ox, симметрично отражается относительно оси Ox.

   • Части графика при $|x|>1$ уже находятся выше оси Ox, поэтому они не меняются.
   • Часть графика при $|x|<1$ (между асимптотами $x=-1$ и $x=1$) находится ниже оси Ox. Мы отражаем ее симметрично относительно оси Ox. Точка локального максимума $(0, -6)$ превращается в точку локального минимума $(0, 6)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и полностью расположен выше оси Ox. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=-1$ и $x=1$, и горизонтальную асимптоту $y=0$. График состоит из трех ветвей: двух внешних, стремящихся к асимптотам, и одной внутренней U-образной ветви с точкой локального минимума $(0, 6)$. Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $y \in (0; +\infty)$.