Номер 3.7, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.7. Постройте график функции:

а) $y = |x^2 - 4|;$

б) $y = |\sqrt{x+3} - 1|;$

в) $y = |2x - 3|;$

г) $y = |-\frac{8}{x}|.$

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$ необходимо сначала построить график функции $y = f(x)$, а затем часть графика, расположенную ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси абсцисс (где $y \ge 0$), остается без изменений.

1. Сначала построим график функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ смещением на 4 единицы вниз по оси Oy.

• Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.
• Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 - 4 = 0$. Получаем $x^2 = 4$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Теперь применим операцию взятия модуля. Часть параболы, которая находится ниже оси Ox, — это дуга между точками $x = -2$ и $x = 2$. Эту часть мы симметрично отражаем относительно оси Ox.

• Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.
• Части графика при $x \le -2$ и $x \ge 2$ остаются на своих местах, так как на этих участках $x^2 - 4 \ge 0$.

В результате получается график, состоящий из двух ветвей исходной параболы при $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ и отраженной дуги параболы $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ при $x \in (-2, 2)$.

а) Ответ: График представляет собой параболу $y=x^2-4$, часть которой, лежащая ниже оси абсцисс, отражена симметрично относительно этой оси.

1. Сначала построим график функции $y = \sqrt{x+3} - 1$. Этот график получен из графика $y = \sqrt{x}$ путем двух преобразований:

• Сдвиг на 3 единицы влево по оси Ox (получаем $y = \sqrt{x+3}$). Область определения функции: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
• Сдвиг на 1 единицу вниз по оси Oy.

Ключевые точки графика $y = \sqrt{x+3} - 1$:

• Начальная точка графика: $(-3, -1)$.
• Точка пересечения с осью Ox: $\sqrt{x+3} - 1 = 0 \implies \sqrt{x+3} = 1 \implies x+3=1 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $y = \sqrt{0+3} - 1 = \sqrt{3} - 1 \approx 0.73$. Точка $(0, \sqrt{3}-1)$.

2. Применяем модуль. Часть графика, где $y < 0$, находится на интервале $x \in [-3, -2)$. Эту часть отражаем симметрично относительно оси Ox.

• Начальная точка $(-3, -1)$ переходит в точку $(-3, 1)$.
• Часть графика при $x \ge -2$ остается без изменений, так как на этом участке $y \ge 0$.

Итоговый график начинается в точке $(-3, 1)$, опускается до точки $(-2, 0)$ и затем возрастает.

б) Ответ: График функции $y = \sqrt{x+3} - 1$, часть которого на интервале $x \in [-3, -2)$ отражена симметрично относительно оси абсцисс.

1. Построим график функции $y = 2x - 3$. Это прямая линия.

• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$. Точка $(\frac{3}{2}, 0)$.

2. Применяем модуль. Часть прямой, находящаяся ниже оси Ox (при $x < \frac{3}{2}$), отражается симметрично относительно этой оси.

• Прямая $y = 2x - 3$ на интервале $(-\infty, \frac{3}{2})$ становится прямой $y = -(2x-3) = 3-2x$.
• Часть прямой при $x \ge \frac{3}{2}$ остается на месте.

В результате получаем V-образный график с "изломом" (вершиной) в точке $(\frac{3}{2}, 0)$.

в) Ответ: График представляет собой две полупрямые, исходящие из точки $(\frac{3}{2}, 0)$, где $\frac{3}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}$.

1. Сначала упростим выражение: $y = |-\frac{8}{x}| = |\frac{8}{x}|$. Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = |\frac{8}{x}|$.

2. Построим график функции $y = \frac{8}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Область определения: $x \ne 0$.

• При $x > 0$ значения $y$ также положительны, ветвь гиперболы находится в I координатной четверти. Например, точки $(2, 4), (4, 2), (8, 1)$.
• При $x < 0$ значения $y$ отрицательны, ветвь гиперболы находится в III координатной четверти. Например, точки $(-2, -4), (-4, -2), (-8, -1)$.

3. Применяем модуль.

• Ветвь в I четверти ($x > 0$) остается без изменений, так как там $y > 0$.
• Ветвь в III четверти ($x < 0$) отражается симметрично относительно оси Ox и переходит во II координатную четверть. Например, точка $(-2, -4)$ переходит в $(-2, 4)$.

Итоговый график состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси Oy.

г) Ответ: График представляет собой гиперболу $y = \frac{8}{x}$, ветвь которой, лежащая в III четверти, отражена симметрично относительно оси абсцисс и находится во II четверти.