Номер 3.9, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.9. Постройте график функции:

а) $y = |- x^2 - 2|x| + 8|$

б) $y = |\sqrt{|x|} + 4 - 3|$

в) $y = |0.5|x| + 2|$

г) $y = \left|- \frac{4}{|x|+3}\right|$

а) $y = |-x^2 - 2|x| + 8|$

Построение графика этой функции можно разбить на несколько этапов, используя преобразования графиков:

1. Заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = |-(-x)^2 - 2|-x| + 8| = |-x^2 - 2|x| + 8| = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси Oy.
2. Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = -x^2 - 2|x| + 8$. Для $x \ge 0$ имеем $g_1(x) = -x^2 - 2x + 8$. Это парабола, ветви которой направлены вниз.
3. Найдем ключевые точки для графика $g_1(x)$ при $x \ge 0$:
   • Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 - 2(0) + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$.
   • Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $-x^2 - 2x + 8 = 0$, или $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета корни $x=2$ и $x=-4$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, нас интересует точка $(2, 0)$.
4. Таким образом, для $x \ge 0$ график $g(x)$ — это часть параболы, проходящая через $(0, 8)$ и $(2, 0)$. Отразив эту часть симметрично относительно оси Oy, мы получим полный график функции $g(x) = -x^2 - 2|x| + 8$. Он будет иметь пик в точке $(0, 8)$ и пересекать ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
5. Наконец, чтобы построить график исходной функции $y = |g(x)| = |-x^2 - 2|x| + 8|$, мы должны часть графика $g(x)$, расположенную ниже оси Ox, отразить симметрично относительно этой оси. График $g(x)$ отрицателен при $x < -2$ и $x > 2$.

Ответ: График функции представляет собой симметричную относительно оси Oy кривую, похожую на букву "W". Центральный пик находится в точке $(0, 8)$. График пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, где образуются "изломы" (острые минимумы), после чего ветви графика снова уходят вверх.

б) $y = |\sqrt{|x|+4} - 3|$

Построение графика выполняется пошагово:

1. Функция является четной из-за наличия $|x|$, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.
2. Построим сначала график для $x \ge 0$, где функция имеет вид $y = |\sqrt{x+4} - 3|$.
3. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию $g(x) = \sqrt{x+4} - 3$. Это стандартный график $y=\sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы влево и на 3 единицы вниз.
   • Для $x \ge 0$, найдем начальную точку: при $x=0$, $y=\sqrt{0+4}-3 = 2-3 = -1$. Точка $(0, -1)$.
   • Найдем пересечение с осью Ox: $\sqrt{x+4} - 3 = 0 \implies \sqrt{x+4}=3 \implies x+4=9 \implies x=5$. Точка $(5, 0)$.
4. График функции $h(x) = \sqrt{|x|+4} - 3$ получается отражением части графика $g(x)$ для $x \ge 0$ симметрично относительно оси Oy. Он имеет минимум в точке $(0, -1)$ и пересекает ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(5, 0)$.
5. Чтобы получить итоговый график $y = |h(x)|$, отразим часть графика $h(x)$, лежащую ниже оси Ox (на интервале $(-5, 5)$), симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции — симметричная кривая, похожая на букву "W" с закругленным центральным элементом. Она имеет локальный максимум (из-за отражения) в точке $(0, 1)$ и два минимума в точках $(-5, 0)$ и $(5, 0)$, где график касается оси Ox и имеет "изломы".

в) $y = |0,5|x| + 2|$

Проанализируем функцию:

1. Рассмотрим выражение под внешним знаком модуля: $g(x) = 0.5|x| + 2$.
2. Так как $|x| \ge 0$ для любого $x$, то $0.5|x| \ge 0$, и следовательно $g(x) = 0.5|x| + 2 \ge 2$.
3. Это означает, что выражение под знаком модуля всегда положительно. Поэтому знак модуля можно убрать: $y = 0.5|x| + 2$.
4. Это четная функция, график которой симметричен относительно оси Oy.
5. Для $x \ge 0$ имеем $y = 0.5x + 2$. Это прямая линия (луч, начинающийся на оси Oy).
   • При $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.
   • При $x=2$, $y=0.5(2)+2=3$. Точка $(2, 3)$.
6. Отражая этот луч симметрично относительно оси Oy, получаем вторую часть графика (луч, проходящий через $(-2,3)$).

Ответ: График функции представляет собой V-образную линию ("галочку"), состоящую из двух лучей, с вершиной (точкой минимума) в точке $(0, 2)$.

г) $y = |-\frac{4}{|x|+3}|$

Упростим и проанализируем функцию:

1. Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем $y = |\frac{4}{|x|+3}|$.
2. Знаменатель $|x|+3$ всегда положителен (так как $|x| \ge 0 \implies |x|+3 \ge 3$). Числитель 4 также положителен. Следовательно, вся дробь $\frac{4}{|x|+3}$ всегда положительна.
3. Таким образом, знак модуля можно убрать: $y = \frac{4}{|x|+3}$.
4. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x \ge 0$.
5. Для $x \ge 0$ имеем $y = \frac{4}{x+3}$. Это часть гиперболы $y=4/x$, смещенной на 3 единицы влево.
   • При $x=0$, $y = \frac{4}{0+3}=\frac{4}{3}$. Точка $(0, \frac{4}{3})$.
   • При $x \to \infty$, $y \to 0$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
   • Найдем еще одну точку: при $x=1$, $y = \frac{4}{1+3} = 1$. Точка $(1, 1)$.
6. Отражая построенную кривую для $x \ge 0$ симметрично относительно оси Oy, получаем полный график.

Ответ: График функции — симметричная колоколообразная кривая с вершиной (точкой максимума и "излома") в точке (0, 1\(\frac{1}{3}\)). Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика при $x \to \pm \infty$.