Номер 3.3, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3.3. На рисунке 28 изображен график функции $y = f(x)$. Перенесите рисунок в тетрадь и постройте график функции:

а) $y = |f(x)|$;

б) $y = f(|x|)$;

в) $y = |f(|x|)|$.

Рис. 28

а) $y = |f(x)|$

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, нужно выполнить следующие преобразования с исходным графиком $y = f(x)$:

1. Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше или на оси абсцисс (где $f(x) \geq 0$), остается неизменной. В данном случае это участки, где $x$ принадлежит отрезкам $[-2, 3]$ и $[5, +\infty)$.
2. Часть графика $y=f(x)$, расположенная ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс. Это участки, где $x$ принадлежит интервалам $(-\infty, -2)$ и $(3, 5)$.

В результате этих преобразований ключевые точки изменяются следующим образом:

• Локальный минимум в точке $(-4, -4)$ становится локальным максимумом в точке $(-4, 4)$.
• Локальный минимум в точке $(4, -1)$ становится локальным максимумом в точке $(4, 1)$.
• Точки пересечения с осью $x$ (нули функции) $(-2, 0)$, $(3, 0)$, $(5, 0)$ и локальный максимум в точке $(0, 2)$ остаются на своих местах.

Полученный график целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

Ответ: Для построения графика $y = |f(x)|$ части исходного графика, находящиеся под осью $x$, симметрично отражаются вверх относительно этой оси, а остальная часть графика остается без изменений.

б) $y = f(|x|)$

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, нужно выполнить следующие преобразования с исходным графиком $y = f(x)$:

1. Часть графика $y=f(x)$, расположенная справа от оси ординат или на ней (где $x \geq 0$), остается неизменной.
2. Часть графика $y=f(x)$, расположенная слева от оси ординат (где $x < 0$), отбрасывается.
3. Оставшаяся справа часть графика симметрично отражается относительно оси ординат на левую полуплоскость.

В результате этих преобразований:

• Полученный график становится симметричным относительно оси $y$ (функция становится четной).
• Локальный максимум в точке $(0, 2)$, лежащей на оси симметрии, сохраняется.
• Локальный минимум в точке $(4, -1)$ сохраняется, и из-за симметрии появляется новый локальный минимум в точке $(-4, -1)$.
• Нули функции $(3, 0)$ и $(5, 0)$ сохраняются, и появляются симметричные им нули $(-3, 0)$ и $(-5, 0)$.
• Исходный локальный минимум $(-4, -4)$ и нуль $(-2, 0)$ из левой полуплоскости исчезают.

Ответ: Для построения графика $y = f(|x|)$ часть исходного графика для $x \ge 0$ сохраняется, а часть для $x < 0$ заменяется на зеркальное отражение правой части относительно оси $y$.

в) $y = |f(|x|)|$

Построение графика функции $y = |f(|x|)|$ является комбинацией двух предыдущих преобразований. Его можно выполнить в два шага:

1. Сначала строится график промежуточной функции $g(x) = f(|x|)$, как это описано в пункте б). Этот график симметричен относительно оси $y$.
2. Затем строится график $y = |g(x)| = |f(|x|)|$, применяя преобразование из пункта а) к графику $g(x)$. То есть, все части графика $g(x)$, расположенные ниже оси абсцисс, симметрично отражаются вверх.

В результате этих преобразований:

• Итоговый график будет симметричен относительно оси $y$ и полностью расположен не ниже оси $x$ ($y \geq 0$).
• Локальный максимум в точке $(0, 2)$ сохраняется.
• Локальные минимумы графика $f(|x|)$ в точках $(-4, -1)$ и $(4, -1)$ отражаются и становятся локальными максимумами в точках $(-4, 1)$ и $(4, 1)$.
• Нули функции $(-5, 0)$, $(-3, 0)$, $(3, 0)$, $(5, 0)$ остаются на месте и становятся точками локального минимума (точками излома графика).

Ответ: График $y = |f(|x|)|$ получается путем построения графика $y=f(|x|)$ и последующего отражения всех его отрицательных частей относительно оси $x$. Итоговый график симметричен относительно оси $y$ и неотрицателен.