Номер 2.2, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2.2. На рисунке 8 изображен график функции $y = f(x)$. Докажите, что она не имеет обратной функции.

$y = f(x)$

$y = f(x)$

Рис. 8

Для того чтобы функция $y = f(x)$ имела обратную функцию, она должна быть обратимой. Обратимая функция (также называемая инъективной или взаимно однозначной) сопоставляет разным значениям аргумента разные значения функции. Иными словами, для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции, если $x_1 \neq x_2$, то $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Геометрически это свойство проверяется с помощью теста горизонтальной линии: любая горизонтальная прямая вида $y = c$ (где $c$ — константа) должна пересекать график функции не более чем в одной точке. Если найдется хотя бы одна горизонтальная прямая, которая пересекает график более одного раза, то функция не является обратимой и, следовательно, не имеет обратной функции.

• а)

  Рассмотрим график функции на рисунке 8а. Проведем горизонтальную прямую, например, $y = 2$. Эта прямая пересекает график функции в трех различных точках. Обозначим абсциссы этих точек как $x_1$, $x_2$ и $x_3$.

  Из графика видно, что $x_1 \approx -0.8$, $x_2 \approx 0.2$ и $x_3 \approx 1.8$. Таким образом, существуют три различных значения аргумента, которым соответствует одно и то же значение функции: $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = 2$.

  Поскольку нарушено условие инъективности, данная функция не имеет обратной.

  Ответ: Функция не имеет обратной, так как она не является инъективной (взаимно однозначной). Тест горизонтальной линии не пройден, так как, например, прямая $y=2$ пересекает график более чем в одной точке.

• б)

  Рассмотрим график функции на рисунке 8б. Применим тест горизонтальной линии. Проведем горизонтальную прямую, например, $y = 2$.

  Эта прямая пересекает график функции в двух различных точках. Обозначим их абсциссы как $x_1$ и $x_2$. Из графика видно, что $x_1 \approx -0.8$ и $x_2 \approx 2.7$. Таким образом, мы нашли два различных значения аргумента ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции совпадают: $f(x_1) = f(x_2) = 2$.

  Так как функция не является инъективной, она не имеет обратной функции.

  Ответ: Функция не имеет обратной, так как она не является инъективной (взаимно однозначной). Тест горизонтальной линии не пройден, так как, например, прямая $y=2$ пересекает график более чем в одной точке.