Номер 1.6, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.6. Докажите, что композиция убывающей и возрастающей функций есть убывающая функция.

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть оба возможных порядка композиции функций.

Пусть функция $f(x)$ является убывающей, а функция $g(x)$ — возрастающей. Напомним определения монотонности:

• Функция $g(x)$ является возрастающей, если для любых $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, для которых выполняется $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $g(x_1) < g(x_2)$.
• Функция $f(x)$ является убывающей, если для любых $x_1$ и $x_2$ из ее области определения, для которых выполняется $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Композиция вида $h(x) = f(g(x))$

Пусть $h(x) = f(g(x))$. Нам нужно доказать, что функция $h(x)$ является убывающей. Для этого выберем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения функции $h(x)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

1. Поскольку $g(x)$ — возрастающая функция, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) < g(x_2)$.

2. Обозначим $y_1 = g(x_1)$ и $y_2 = g(x_2)$. Тогда мы имеем неравенство $y_1 < y_2$.

3. Теперь рассмотрим действие убывающей функции $f(x)$ на значения $y_1$ и $y_2$. Поскольку $f(x)$ — убывающая, из неравенства $y_1 < y_2$ следует, что $f(y_1) > f(y_2)$.

4. Подставив обратно исходные выражения, получаем: $f(g(x_1)) > f(g(x_2))$.

Это означает, что $h(x_1) > h(x_2)$. Таким образом, из $x_1 < x_2$ следует $h(x_1) > h(x_2)$, что по определению означает, что функция $h(x) = f(g(x))$ является убывающей.

Случай 2: Композиция вида $k(x) = g(f(x))$

Пусть $k(x) = g(f(x))$. Нам нужно доказать, что функция $k(x)$ также является убывающей. Снова выберем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения функции $k(x)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

1. Поскольку $f(x)$ — убывающая функция, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$.

2. Обозначим $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Тогда мы имеем неравенство $y_1 > y_2$, которое можно переписать как $y_2 < y_1$.

3. Теперь рассмотрим действие возрастающей функции $g(x)$ на значения $y_1$ и $y_2$. Поскольку $g(x)$ — возрастающая, из неравенства $y_2 < y_1$ следует, что $g(y_2) < g(y_1)$.

4. Подставив обратно исходные выражения, получаем: $g(f(x_2)) < g(f(x_1))$, что эквивалентно $g(f(x_1)) > g(f(x_2))$.

Это означает, что $k(x_1) > k(x_2)$. Таким образом, из $x_1 < x_2$ следует $k(x_1) > k(x_2)$, что по определению означает, что функция $k(x) = g(f(x))$ является убывающей.

Вывод: В обоих возможных случаях композиция убывающей и возрастающей функций является убывающей функцией. Что и требовалось доказать.