Номер 1.8, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.8. Заполните в тетради таблицу.

h(x), p(x), h(p(x)), p(h(x))

h(x): $\sqrt{x}$, p(x): $4x^3$

h(p(x)): $\sqrt{3-x}$

p(h(x)): $(4x-1)^5$

h(p(x)): $(2x+1)^3$

Для заполнения таблицы необходимо выполнить операции нахождения композиции функций или декомпозиции (разложения сложной функции на простые).

Строка 1, $h(p(x))$: В этой строке даны функции $h(x) = \sqrt{x}$ и $p(x) = 4x^3$. Для нахождения $h(p(x))$ необходимо подставить выражение для $p(x)$ в функцию $h(x)$ вместо аргумента $x$. Выполняем подстановку и упрощаем:
$h(p(x)) = h(4x^3) = \sqrt{4x^3} = 2x\sqrt{x}$.
Ответ: $2x\sqrt{x}$.

Строка 1, $p(h(x))$: Используя те же функции $h(x) = \sqrt{x}$ и $p(x) = 4x^3$, для нахождения $p(h(x))$ подставляем $h(x)$ в $p(x)$:
$p(h(x)) = p(\sqrt{x}) = 4(\sqrt{x})^3 = 4x\sqrt{x}$.
Ответ: $4x\sqrt{x}$.

Строка 2, $h(x), p(x)$: Дана композиция $h(p(x)) = \sqrt{3-x}$. Необходимо выполнить декомпозицию, то есть найти функции $h(x)$ и $p(x)$. Такое разложение не является единственно возможным, но мы выберем наиболее очевидный вариант. В качестве "внутренней" функции $p(x)$ возьмем подкоренное выражение, а в качестве "внешней" $h(x)$ — функцию извлечения квадратного корня.
$p(x) = 3-x$
$h(x) = \sqrt{x}$
Проверим правильность разложения: $h(p(x)) = h(3-x) = \sqrt{3-x}$. Результат совпадает с заданным.
Ответ: $h(x) = \sqrt{x}$, $p(x) = 3-x$.

Строка 2, $p(h(x))$: Используя найденные функции $h(x) = \sqrt{x}$ и $p(x) = 3-x$, найдем композицию $p(h(x))$:
$p(h(x)) = p(\sqrt{x}) = 3 - \sqrt{x}$.
Ответ: $3 - \sqrt{x}$.

Строка 3, $h(x), p(x)$: Дана композиция $p(h(x)) = (4x-1)^5$. В данном случае $h(x)$ — "внутренняя" функция, а $p(x)$ — "внешняя". В качестве внутренней функции возьмем выражение в основании степени, а в качестве внешней — функцию возведения в степень.
$h(x) = 4x-1$
$p(x) = x^5$
Проверим правильность разложения: $p(h(x)) = p(4x-1) = (4x-1)^5$. Результат совпадает с заданным.
Ответ: $h(x) = 4x-1$, $p(x) = x^5$.

Строка 3, $h(p(x))$: Используя найденные функции $h(x) = 4x-1$ и $p(x) = x^5$, найдем композицию $h(p(x))$:
$h(p(x)) = h(x^5) = 4(x^5) - 1 = 4x^5-1$.
Ответ: $4x^5-1$.

Строка 4, $h(x), p(x)$: Дана композиция $h(p(x)) = (2x+1)^3$. Здесь $p(x)$ — "внутренняя" функция, а $h(x)$ — "внешняя". В качестве внутренней функции возьмем выражение в основании степени, а в качестве внешней — функцию возведения в степень.
$p(x) = 2x+1$
$h(x) = x^3$
Проверим правильность разложения: $h(p(x)) = h(2x+1) = (2x+1)^3$. Результат совпадает с заданным.
Ответ: $h(x) = x^3$, $p(x) = 2x+1$.

Строка 4, $p(h(x))$: Используя найденные функции $h(x) = x^3$ и $p(x) = 2x+1$, найдем композицию $p(h(x))$:
$p(h(x)) = p(x^3) = 2(x^3) + 1 = 2x^3+1$.
Ответ: $2x^3+1$.