Номер 1.5, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.5. Докажите, что композиция двух убывающих функций — функция убывающая.

1.5. Утверждение, представленное в задаче, является неверным. На самом деле, композиция двух убывающих функций является возрастающей функцией. Проведем доказательство этого факта.

Пусть даны две убывающие функции: $y = g(x)$ и $z = f(y)$.

По определению, функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим композицию этих функций $h(x) = f(g(x))$. Нам нужно доказать, что $h(x)$ является возрастающей функцией. То есть для любых $x_1 < x_2$ должно выполняться $h(x_1) < h(x_2)$.

Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции $h(x)$ такие, что $x_1 < x_2$.

1. Поскольку функция $g(x)$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$.
2. Обозначим $y_1 = g(x_1)$ и $y_2 = g(x_2)$. Таким образом, мы получили, что $y_1 > y_2$.
3. Теперь рассмотрим функцию $f(y)$. Она также является убывающей по условию. Применим ее к значениям $y_1$ и $y_2$.
4. Так как $f(y)$ убывающая, то из неравенства $y_1 > y_2$ (что эквивалентно $y_2 < y_1$) следует, что $f(y_1) < f(y_2)$.
5. Подставив обратно $y_1 = g(x_1)$ и $y_2 = g(x_2)$, получаем: $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$.
6. Это означает, что $h(x_1) < h(x_2)$.

Таким образом, мы доказали, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется $h(x_1) < h(x_2)$. Это по определению означает, что композиция двух убывающих функций $h(x)$ является возрастающей функцией.

Пример для иллюстрации:
Рассмотрим две простые убывающие функции: $f(x) = -x$ и $g(x) = -x$.
Их композиция: $h(x) = f(g(x)) = f(-x) = -(-x) = x$.
Функция $h(x) = x$ является возрастающей, что подтверждает наше доказательство.

Ответ: Утверждение в задаче некорректно. Композиция двух убывающих функций является возрастающей функцией.