Номер 1.4, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.4. Докажите, что композиция двух возрастающих функций — функция возрастающая.

Для доказательства утверждения воспользуемся определением возрастающей функции и композиции функций.

Определение 1: Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Определение 2: Композицией двух функций $f$ и $g$ (обозначается $g \circ f$) называется функция $h(x) = g(f(x))$. Область определения функции $h(x)$ состоит из всех тех $x$ из области определения $f$, для которых значение $f(x)$ принадлежит области определения $g$.

Доказательство:

Пусть даны две возрастающие функции $f(x)$ и $g(x)$. Рассмотрим их композицию $h(x) = g(f(x))$. Нам необходимо доказать, что функция $h(x)$ также является возрастающей на своей области определения.

Для этого выберем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из области определения функции $h(x)$ такие, что $x_1 < x_2$. Нам нужно показать, что $h(x_1) < h(x_2)$.

1. Так как $x_1 < x_2$ и функция $f(x)$ является возрастающей, то по определению возрастающей функции имеем: $$f(x_1) < f(x_2)$$
2. Обозначим $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$. Тогда неравенство примет вид $y_1 < y_2$. Значения $y_1$ и $y_2$ являются аргументами для функции $g(x)$, так как они принадлежат ее области определения.
3. Так как функция $g(x)$ также является возрастающей, то для $y_1 < y_2$ по определению возрастающей функции имеем: $$g(y_1) < g(y_2)$$
4. Подставим обратно $y_1 = f(x_1)$ и $y_2 = f(x_2)$ в последнее неравенство: $$g(f(x_1)) < g(f(x_2))$$
5. По определению композиции функций $h(x) = g(f(x))$, поэтому мы получаем: $$h(x_1) < h(x_2)$$

Мы показали, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения $h(x)$, из условия $x_1 < x_2$ следует $h(x_1) < h(x_2)$. Это означает, что функция $h(x)$ является возрастающей.

Что и требовалось доказать.