Номер 8, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите произведение корней уравнения

$$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} = \frac{x^2}{7}$$

а) -28;

б) 14;

в) -14;

г) -2;

д) 28.

Исходное уравнение:

$$ \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} = \frac{x^2}{7} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$$ x^2 - 9 \neq 0 $$

$$ x^2 \neq 9 $$

$$ x \neq 3 \quad \text{и} \quad x \neq -3 $$

Для упрощения решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$$ \frac{t - 4}{t - 9} = \frac{t}{7} $$

Теперь решим это рациональное уравнение относительно $t$. Используя свойство пропорции (умножим обе части уравнения крест-накрест), получим:

$$ 7(t - 4) = t(t - 9) $$

Раскроем скобки:

$$ 7t - 28 = t^2 - 9t $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ t^2 - 9t - 7t + 28 = 0 $$

$$ t^2 - 16t + 28 = 0 $$

Мы получили биквадратное уравнение в приведенной форме. Корни этого уравнения для $t$ можно найти по формуле, но для нахождения произведения корней исходного уравнения это не обязательно. Вместо этого можно воспользоваться теоремой Виета.

Пусть $t_1$ и $t_2$ — корни уравнения $t^2 - 16t + 28 = 0$.

Вернемся к замене $t=x^2$. Тогда:

$x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$.

Чтобы исходное уравнение имело корни, значения $t_1$ и $t_2$ должны быть положительными. Проверим это. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 16$, а их произведение $t_1 t_2 = 28$. Так как и сумма, и произведение положительны, оба корня $t_1$ и $t_2$ являются положительными числами.

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня:

$x_1 = \sqrt{t_1}$, $x_2 = -\sqrt{t_1}$, $x_3 = \sqrt{t_2}$, $x_4 = -\sqrt{t_2}$.

Найдем произведение этих корней:

$$ P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = (\sqrt{t_1}) \cdot (-\sqrt{t_1}) \cdot (\sqrt{t_2}) \cdot (-\sqrt{t_2}) $$

$$ P = (-t_1) \cdot (-t_2) = t_1 t_2 $$

Таким образом, произведение корней исходного уравнения равно произведению корней вспомогательного квадратного уравнения $t^2 - 16t + 28 = 0$.

По теореме Виета, произведение корней $t_1 t_2$ равно свободному члену, то есть $28$.

Итак, произведение корней исходного уравнения равно $28$.

Полученное значение $28$ соответствует варианту д).

д) Ответ: 28