Номер 1, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Выберите неверное утверждение:

1) если биквадратное уравнение имеет корни, то сумма его корней равна нулю;

2) неполное квадратное уравнение может не иметь корней;

3) любое линейное уравнение имеет единственный корень;

4) если приведенное квадратное уравнение имеет корни, то сумма его корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком;

5) если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то его корень можно вычислить по формуле $x = - \frac{b}{2a}$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы выбрать неверное утверждение, необходимо последовательно проанализировать каждое из них.

1) если биквадратное уравнение имеет корни, то сумма его корней равна нулю; Биквадратное уравнение имеет вид $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. В этом уравнении коэффициент при члене $x^3$ равен нулю. Согласно обобщенной теореме Виета для многочлена четвертой степени, сумма его корней (включая действительные и комплексные) равна отношению коэффициента при $x^3$ к старшему коэффициенту $a$, взятому с противоположным знаком. Таким образом, сумма корней равна $-\frac{0}{a} = 0$. Это верно для любого набора корней. Например, если уравнение имеет четыре действительных корня, то после замены $y=x^2$ ($y>0$) мы получим два положительных корня $y_1$ и $y_2$ для квадратного уравнения. Тогда корни биквадратного уравнения будут $\sqrt{y_1}$, $-\sqrt{y_1}$, $\sqrt{y_2}$, $-\sqrt{y_2}$, и их сумма очевидно равна нулю. Утверждение является верным. Ответ: верно.

2) неполное квадратное уравнение может не иметь корней; Неполным квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, у которого хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю (при $a \neq 0$). Рассмотрим случай, когда $b=0$ и $c \neq 0$. Уравнение принимает вид $ax^2 + c = 0$. Отсюда $x^2 = -\frac{c}{a}$. Если коэффициенты $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки, то их отношение $\frac{c}{a} > 0$, а выражение $-\frac{c}{a} < 0$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, в этом случае уравнение не имеет действительных корней. Например, уравнение $5x^2 + 20 = 0$ является неполным и не имеет корней, так как $x^2 = -4$. Утверждение является верным. Ответ: верно.

3) любое линейное уравнение имеет единственный корень; Линейное уравнение в общем виде записывается как $ax + b = 0$. Если коэффициент $a \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень $x = -\frac{b}{a}$. Однако, если $a = 0$, то возможны два варианта. Первый: если $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x + b = 0$, что равносильно неверному равенству $b=0$. В этом случае уравнение не имеет корней. Второй: если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x + 0 = 0$, что равносильно верному равенству $0=0$. Это равенство истинно для любого значения $x$, то есть уравнение имеет бесконечное множество корней. Поскольку существуют линейные уравнения, не имеющие корней или имеющие бесконечное множество корней, данное утверждение является неверным. Ответ: неверно.

4) если приведенное квадратное уравнение имеет корни, то сумма его корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; Приведенным называется квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 1, то есть уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, если это уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма равна второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$. Утверждение в точности повторяет формулировку теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения. Утверждение является верным. Ответ: верно.

5) если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то его корень можно вычислить по формуле $x = -\frac{b}{2a}$. Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находятся по общей формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант. Если $D=0$, то выражение под корнем обращается в нуль, и формула дает один-единственный результат: $x = \frac{-b \pm 0}{2a} = -\frac{b}{2a}$. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень кратности 2. Формула для его вычисления указана верно. Утверждение является верным. Ответ: верно.

Таким образом, единственным неверным утверждением является утверждение под номером 3. Следовательно, правильный вариант ответа — в).