Номер 15, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Упростите выражение

$A = \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)}$

и найдите значение выражения $16A$ при $x = 0,\overline{3}$.

Упростите выражение

Для упрощения выражения $A$ заметим, что оно представляет собой сумму дробей, каждый член которой можно разложить на разность двух более простых дробей. Это так называемый метод телескопической суммы. Общий вид слагаемого в сумме — $\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}$.

Воспользуемся тождеством для разложения дроби на простейшие:

$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \frac{1}{x+k} - \frac{1}{x+k+1}$

Чтобы убедиться в верности этого тождества, приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{x+k} - \frac{1}{x+k+1} = \frac{(x+k+1) - (x+k)}{(x+k)(x+k+1)} = \frac{x+k+1-x-k}{(x+k)(x+k+1)} = \frac{1}{(x+k)(x+k+1)}$

Тождество доказано. Теперь применим его к каждому слагаемому в выражении $A$:

$A = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right) + \left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+5}\right)$

Как видно из разложения, все промежуточные члены с противоположными знаками взаимно уничтожаются:

$A = \frac{1}{x} - \cancel{\frac{1}{x+1}} + \cancel{\frac{1}{x+1}} - \cancel{\frac{1}{x+2}} + \cancel{\frac{1}{x+2}} - \cancel{\frac{1}{x+3}} + \cancel{\frac{1}{x+3}} - \cancel{\frac{1}{x+4}} + \cancel{\frac{1}{x+4}} - \frac{1}{x+5}$

В результате остаются только первый и последний члены:

$A = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5}$

Приведем полученную разность к общему знаменателю для получения окончательного ответа:

$A = \frac{1 \cdot (x+5) - 1 \cdot x}{x(x+5)} = \frac{x+5-x}{x(x+5)} = \frac{5}{x(x+5)}$

Упростите выражение: Ответ: $A = \frac{5}{x(x+5)}$

и найдите значение выражения 16A при x = 0,(3)

Сначала преобразуем периодическую десятичную дробь $x = 0,(3)$ в обыкновенную дробь.

Пусть $x = 0,333...$

Тогда $10x = 3,333...$

Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Теперь подставим найденное значение $x = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение для $A$:

$A = \frac{5}{x(x+5)} = \frac{5}{\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3} + 5)}$

Вычислим значение в знаменателе:

$\frac{1}{3} + 5 = \frac{1}{3} + \frac{15}{3} = \frac{16}{3}$

$x(x+5) = \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{3} = \frac{16}{9}$

Теперь найдем $A$:

$A = \frac{5}{\frac{16}{9}} = 5 \cdot \frac{9}{16} = \frac{45}{16}$

Наконец, вычислим значение выражения $16A$:

$16A = 16 \cdot \frac{45}{16} = 45$

Результат $45$ является целым числом. Его можно представить в виде неправильной дроби $\frac{45}{1}$, целая часть которой равна $45$.

и найдите значение выражения 16A при x = 0,(3): Ответ: 45