Номер 12, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите значение выражения $16x^2 + 9x^{-2} + 3$, если $4x - 3x^{-1} = -6$.

Для нахождения значения выражения $16x^2 + 9x^{-2} + 3$ воспользуемся данным равенством $4x - 3x^{-1} = -6$. Обратим внимание, что искомое выражение содержит члены, которые являются квадратами членов из данного равенства: $16x^2 = (4x)^2$ и $9x^{-2} = (3x^{-1})^2$. Это позволяет нам решить задачу, возведя обе части исходного равенства в квадрат.

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к левой части уравнения $4x - 3x^{-1} = -6$:
$(4x - 3x^{-1})^2 = (-6)^2$
$(4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot (3x^{-1}) + (3x^{-1})^2 = 36$

Теперь упростим полученное выражение. Учтем, что произведение $x \cdot x^{-1} = x^{1-1} = x^0 = 1$ (при условии, что $x \ne 0$, что следует из возможности записи самого выражения).
$16x^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot (x \cdot x^{-1}) + 9x^{-2} = 36$
$16x^2 - 24 \cdot 1 + 9x^{-2} = 36$
$16x^2 - 24 + 9x^{-2} = 36$

Из этого уравнения выразим сумму $16x^2 + 9x^{-2}$, которая является частью искомого выражения. Для этого перенесем $-24$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$16x^2 + 9x^{-2} = 36 + 24$
$16x^2 + 9x^{-2} = 60$

Теперь, зная значение $16x^2 + 9x^{-2}$, мы можем найти значение всего выражения, подставив в него найденное число:
$(16x^2 + 9x^{-2}) + 3 = 60 + 3 = 63$

Ответ: 63.