Номер 5, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Разложите на множители многочлен

$2bc + a^2 - b^2 - c^2$.

а) $(a - b + c)(a + b - c);$

б) $(a + b + c)(a - b - c);$

в) $a(a + b - c);$

г) $(b + c)(a - c);$

д) $(b + c)(a + b - c).$

Для того чтобы разложить на множители многочлен $2bc + a^2 - b^2 - c^2$, воспользуемся методом группировки и формулами сокращенного умножения.

Сначала переставим члены многочлена для удобства:

$a^2 - b^2 + 2bc - c^2$

Теперь сгруппируем последние три слагаемых и вынесем за скобки знак минус. Это позволит нам увидеть знакомую формулу.

$a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$

Выражение в скобках, $b^2 - 2bc + c^2$, является полным квадратом разности двух чисел, $(b - c)^2$.

Подставим квадрат разности в наше выражение:

$a^2 - (b - c)^2$

Мы получили выражение, которое представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = a$ и $y = (b - c)$.

Разложим выражение на множители:

$(a - (b - c))(a + (b - c))$

Наконец, раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный вид множителей:

$(a - b + c)(a + b - c)$

Данный результат соответствует варианту а). Для полной уверенности в решении, проверим каждый из предложенных вариантов путем раскрытия скобок.

а) $(a - b + c)(a + b - c)$
Для раскрытия скобок представим выражение в виде $(a - (b - c))(a + (b - c))$ и применим формулу разности квадратов: $a^2 - (b - c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$. Переставив слагаемые, получаем $2bc + a^2 - b^2 - c^2$, что совпадает с исходным многочленом.
Ответ: верно.

б) $(a + b + c)(a - b - c)$
Представим выражение в виде $(a + (b + c))(a - (b + c))$ и применим формулу разности квадратов: $a^2 - (b + c)^2 = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - 2bc - c^2$. Результат не совпадает с исходным многочленом.
Ответ: неверно.

в) $a(a + b - c)$
Раскроем скобки: $a \cdot a + a \cdot b - a \cdot c = a^2 + ab - ac$. Результат не совпадает с исходным многочленом.
Ответ: неверно.

г) $(b + c)(a - c)$
Раскроем скобки: $b \cdot a - b \cdot c + c \cdot a - c \cdot c = ab - bc + ac - c^2$. Результат не совпадает с исходным многочленом.
Ответ: неверно.

д) $(b + c)(a + b - c)$
Раскроем скобки: $b \cdot a + b \cdot b - b \cdot c + c \cdot a + c \cdot b - c \cdot c = ab + b^2 - bc + ac + bc - c^2 = ab + b^2 + ac - c^2$. Результат не совпадает с исходным многочленом.
Ответ: неверно.