Номер 13, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Представьте число 968 в виде суммы четырех положительных чисел, пропорциональных числам, обратным данным: $2/3$; $4/3$; $5/2$ и $8/3$. В ответе укажите наименьшее из чисел.

Пусть искомые четыре положительных числа будут $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$. Согласно условию, их сумма равна 968: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 968$.

Эти числа пропорциональны числам, обратным данным: $\frac{2}{3}$; $\frac{4}{3}$; $\frac{5}{2}$ и $\frac{8}{3}$.

Сначала найдем числа, обратные данным. Для дроби $\frac{a}{b}$ обратным числом является $\frac{b}{a}$.
Обратное к $\frac{2}{3}$ есть $\frac{3}{2}$.
Обратное к $\frac{4}{3}$ есть $\frac{3}{4}$.
Обратное к $\frac{5}{2}$ есть $\frac{2}{5}$.
Обратное к $\frac{8}{3}$ есть $\frac{3}{8}$.

Следовательно, искомые числа находятся в следующем отношении:

$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = \frac{3}{2} : \frac{3}{4} : \frac{2}{5} : \frac{3}{8}$

Для удобства вычислений преобразуем это отношение в отношение целых чисел. Для этого умножим каждую дробь на их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 2, 4, 5, 8 равно 40.

$(\frac{3}{2} \cdot 40) : (\frac{3}{4} \cdot 40) : (\frac{2}{5} \cdot 40) : (\frac{3}{8} \cdot 40) = 60 : 30 : 16 : 15$

Пусть $k$ — это коэффициент пропорциональности. Тогда искомые числа можно представить в виде: $x_1 = 60k$, $x_2 = 30k$, $x_3 = 16k$ и $x_4 = 15k$.

Их сумма равна 968, составим и решим уравнение:

$60k + 30k + 16k + 15k = 968$

$121k = 968$

$k = \frac{968}{121} = 8$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности $k=8$, мы можем найти каждое из четырех чисел:
Первое число: $x_1 = 60 \cdot 8 = 480$
Второе число: $x_2 = 30 \cdot 8 = 240$
Третье число: $x_3 = 16 \cdot 8 = 128$
Четвертое число: $x_4 = 15 \cdot 8 = 120$

Таким образом, мы представили число 968 в виде суммы четырех чисел: $480 + 240 + 128 + 120 = 968$.

В ответе требуется указать наименьшее из этих чисел. Сравнивая полученные числа 480, 240, 128 и 120, мы видим, что наименьшим является 120.

Наименьшее из чисел: Ответ: 120