Номер 12, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите НОК $(a; b; c)$, где $a = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$; $b = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$; $c = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2.$

Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК) для чисел, представленных в виде произведения простых множителей, необходимо выполнить следующие действия:

1. Определить все уникальные простые множители, которые присутствуют в разложении хотя бы одного из чисел.

2. Для каждого уникального простого множителя выбрать его наибольшую степень из всех разложений.

3. Перемножить эти простые множители в их наибольших степенях.

Исходные числа представлены в виде разложения на простые множители:

$a = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$

$b = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

$c = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Уникальные простые множители в этих разложениях: 2, 3, 5, 7.

Теперь найдем наибольшие степени для каждого из этих множителей:

Для множителя 2: степени в числах $a, b, c$ равны $2^1, 2^0, 2^2$. Наибольшая степень — $2^2$.

Для множителя 3: степени в числах $a, b, c$ равны $3^3, 3^2, 3^1$. Наибольшая степень — $3^3$.

Для множителя 5: степени в числах $a, b, c$ равны $5^1, 5^1, 5^2$. Наибольшая степень — $5^2$.

Для множителя 7: степени в числах $a, b, c$ равны $7^0, 7^1, 7^0$. Наибольшая степень — $7^1$.

НОК($a; b; c$) является произведением этих множителей в их наибольших степенях:

$НОК(a; b; c) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1$

Вычислим значение этого выражения:

$НОК(a; b; c) = 4 \cdot 27 \cdot 25 \cdot 7$

Для удобства сгруппируем множители:

$НОК(a; b; c) = (4 \cdot 25) \cdot (27 \cdot 7) = 100 \cdot 189 = 18900$

Ответ: 18900.