Номер 9, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Разложите на множители выражение

$(x^2 + x + 1)^2 + 3x(x^2 + x + 1) - 18x^2$.

a) $(x^2 - 5x + 1)(x^2 + 4x + 1)$;

б) $x^2(x^2 + 7x + 1)$;

в) $x^2(x^2 + x + 1)$;

г) $54x^2$;

д) $(x-1)^2(x^2 + 7x + 1)$.

Для разложения на множители выражения $(x^2 + x + 1)^2 + 3x(x^2 + x + 1) - 18x^2$ воспользуемся методом введения новой переменной.

Заметим, что выражение $(x^2 + x + 1)$ повторяется. Обозначим его через $y$:

Пусть $y = x^2 + x + 1$.

Подставим $y$ в исходное выражение, оно примет вид квадратного трехчлена относительно $y$:

$y^2 + 3xy - 18x^2$

Чтобы разложить этот трехчлен на множители, найдем его корни, решив уравнение $y^2 + 3xy - 18x^2 = 0$ относительно $y$. Можно рассматривать это как квадратное уравнение вида $ay^2+by+c=0$, где коэффициенты $a=1$, $b=3x$, $c=-18x^2$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (3x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18x^2) = 9x^2 + 72x^2 = 81x^2$

Найдем корни $y_1$ и $y_2$:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3x \pm \sqrt{81x^2}}{2} = \frac{-3x \pm 9x}{2}$

$y_1 = \frac{-3x + 9x}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$

$y_2 = \frac{-3x - 9x}{2} = \frac{-12x}{2} = -6x$

Теперь мы можем разложить выражение на множители по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$y^2 + 3xy - 18x^2 = (y - 3x)(y - (-6x)) = (y - 3x)(y + 6x)$

Выполним обратную замену, подставив вместо $y$ выражение $x^2 + x + 1$:

$( (x^2 + x + 1) - 3x )( (x^2 + x + 1) + 6x )$

Упростим выражения в каждой из скобок:

В первой скобке: $x^2 + x - 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$

Во второй скобке: $x^2 + x + 6x + 1 = x^2 + 7x + 1$

Таким образом, мы получили произведение: $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 7x + 1)$.

Заметим, что первый множитель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $(x - 1)^2$.

Окончательный вид разложения на множители:

$(x - 1)^2(x^2 + 7x + 1)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту д).

а) Ответ: неверно.

б) Ответ: неверно.

в) Ответ: неверно.

г) Ответ: неверно.

д) Ответ: $(x - 1)^2(x^2 + 7x + 1)$.