Номер 14, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Упростите выражение, выполнив преобразования,

$\left(3ab^{-1} - \frac{ba^{-1}}{3}\right) : \left(3ab^{-1} + \frac{ba^{-1}}{3} + 0.5^{-1}\right) : \left(\left(\left(1 - \frac{ba^{-1}}{3}\right) \cdot \frac{3a}{3a+b}\right)\right)$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по действиям.

1. Преобразуем выражение в первых скобках: $(3ab^{-1} - \frac{ba^{-1}}{3})$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем:

$3a \cdot \frac{1}{b} - \frac{b \cdot \frac{1}{a}}{3} = \frac{3a}{b} - \frac{b}{3a}$

Приводим дроби к общему знаменателю $3ab$:

$\frac{3a \cdot 3a}{3ab} - \frac{b \cdot b}{3ab} = \frac{9a^2 - b^2}{3ab}$

Применяем в числителе формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{(3a - b)(3a + b)}{3ab}$

2. Преобразуем выражение во вторых скобках: $(3ab^{-1} + \frac{ba^{-1}}{3} + 0,5^{-1})$

Преобразуем каждый член выражения: $3ab^{-1} = \frac{3a}{b}$, $\frac{ba^{-1}}{3} = \frac{b}{3a}$ и $0,5^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Выражение принимает вид:

$\frac{3a}{b} + \frac{b}{3a} + 2$

Приводим все члены к общему знаменателю $3ab$:

$\frac{3a \cdot 3a}{3ab} + \frac{b \cdot b}{3ab} + \frac{2 \cdot 3ab}{3ab} = \frac{9a^2 + b^2 + 6ab}{3ab}$

В числителе применяем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{(3a + b)^2}{3ab}$

3. Преобразуем третье выражение: $((1 - \frac{ba^{-1}}{3}) \cdot \frac{3a}{3a+b})$

Сначала упростим выражение в первых скобках:

$1 - \frac{b \cdot a^{-1}}{3} = 1 - \frac{b}{3a} = \frac{3a - b}{3a}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{3a - b}{3a} \cdot \frac{3a}{3a+b}$

Сокращаем общий множитель $3a$:

$\frac{3a - b}{3a+b}$

4. Объединим результаты и выполним деление

Исходное выражение представляет собой последовательное деление результатов преобразований:

$\frac{(3a - b)(3a + b)}{3ab} : \frac{(3a + b)^2}{3ab} : \frac{3a - b}{3a+b}$

Выполним первое деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$(\frac{(3a - b)(3a + b)}{3ab}) \cdot (\frac{3ab}{(3a + b)^2}) = \frac{(3a-b)(3a+b)3ab}{3ab(3a+b)^2}$

Сокращаем общие множители $3ab$ и $(3a+b)$, получаем:

$\frac{3a - b}{3a + b}$

Теперь разделим полученный результат на результат третьего действия:

$(\frac{3a - b}{3a + b}) : (\frac{3a - b}{3a+b})$

Деление выражения на само себя дает единицу:

$\frac{3a-b}{3a+b} \cdot \frac{3a+b}{3a-b} = 1$

Итоговый результат. Ответ: 1