Номер 2, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2. Выберите уравнение, не равносильное уравнению $x^2 + 5 = 0$:

1) $\frac{3}{x-6} = 0;$

2) $x^2 - 7x + 13 = 0;$

3) $|x - 2| + 9 = 8;$

4) $\frac{x}{8} = 0;$

5) $5x - 12 = 3(x + 4) + 2x.$

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если уравнение не имеет решений, то любое другое уравнение, которое также не имеет решений, будет ему равносильно.

Сначала решим исходное уравнение $x^2 + 5 = 0$.

$x^2 = -5$

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Теперь проанализируем каждое из предложенных уравнений, чтобы найти то, которое не равносильно исходному, то есть имеет хотя бы один корень.

1) Уравнение $\frac{3}{x-6} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. В данном уравнении числитель равен 3 и никогда не может быть равен нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений. Оно равносильно исходному. Ответ: уравнение равносильно исходному.

2) Уравнение $x^2 - 7x + 13 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Оно равносильно исходному. Ответ: уравнение равносильно исходному.

3) Уравнение $|x - 2| + 9 = 8$. Выразим модуль:
$|x - 2| = 8 - 9$
$|x - 2| = -1$
Модуль (абсолютная величина) любого числа по определению не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет решений. Оно равносильно исходному. Ответ: уравнение равносильно исходному.

4) Уравнение $\frac{x}{8} = 0$. Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 8:
$x = 0 \cdot 8$
$x = 0$
Это уравнение имеет один корень $x=0$. Множество его решений $\{0\}$ не совпадает с пустым множеством решений исходного уравнения. Следовательно, это уравнение не равносильно исходному. Ответ: уравнение не равносильно исходному.

5) Уравнение $5x - 12 = 3(x + 4) + 2x$. Раскроем скобки и упростим выражение:
$5x - 12 = 3x + 12 + 2x$
$5x - 12 = 5x + 12$
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$5x - 5x = 12 + 12$
$0 \cdot x = 24$
$0 = 24$
Получилось неверное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Оно равносильно исходному. Ответ: уравнение равносильно исходному.

Таким образом, единственное уравнение, которое не является равносильным уравнению $x^2 + 5 = 0$, — это уравнение под номером 4, так как оно имеет корень $x=0$, в то время как остальные уравнения корней не имеют.

Правильный вариант ответа: г) 4).