Номер 6, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите среднее арифметическое корней (корень, если он единственный) уравнения $ \frac{x+3}{4x^2-9} + \frac{x-3}{4x^2+12x+9} + \frac{4}{6-4x} = 0. $

а) -4;

б) 0;

в) -6;

г) -3;

д) -2.

Для решения данного уравнения необходимо выполнить несколько шагов: упростить знаменатели, найти область допустимых значений (ОДЗ), решить уравнение и найти среднее арифметическое его корней.

1. Упрощение знаменателей.

Разложим на множители каждый знаменатель в уравнении:

$\frac{x+3}{4x^2-9} + \frac{x-3}{4x^2+12x+9} + \frac{4}{6-4x} = 0$

• Первый знаменатель $4x^2-9$ является разностью квадратов: $4x^2-9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)$.

• Второй знаменатель $4x^2+12x+9$ является полным квадратом суммы: $4x^2+12x+9 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x+3)^2$.

• Третий знаменатель $6-4x$ можно упростить, вынеся за скобки $-2$: $6-4x = -2(2x-3)$.

Подставим преобразованные знаменатели обратно в уравнение:

$\frac{x+3}{(2x-3)(2x+3)} + \frac{x-3}{(2x+3)^2} + \frac{4}{-2(2x-3)} = 0$

Упростим последнее слагаемое:

$\frac{x+3}{(2x-3)(2x+3)} + \frac{x-3}{(2x+3)^2} - \frac{2}{2x-3} = 0$

2. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$2x-3 \neq 0 \implies 2x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{2}$

$2x+3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -\frac{3}{2}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\}$.

3. Решение уравнения.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю, который равен $(2x-3)(2x+3)^2$. Для этого умножим обе части уравнения на него:

$(x+3)(2x+3) + (x-3)(2x-3) - 2(2x+3)^2 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(2x^2+9x+9) + (2x^2-9x+9) - 2(4x^2+12x+9) = 0$

$4x^2 + 18 - 8x^2 - 24x - 18 = 0$

$(4x^2 - 8x^2) - 24x + (18 - 18) = 0$

$-4x^2 - 24x = 0$

Разделим уравнение на $-4$ для упрощения:

$x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+6) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2+6 = 0 \implies x_2 = -6$

Оба корня ($0$ и $-6$) удовлетворяют ОДЗ, так как не равны $-\frac{3}{2}$ и $\frac{3}{2}$.

4. Нахождение среднего арифметического корней.

Среднее арифметическое корней $x_1$ и $x_2$ вычисляется по формуле:

$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + (-6)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, среднее арифметическое корней уравнения равно $-3$. Это соответствует варианту ответа г).

г) Ответ: -3