Номер 6, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Сократите дробь $\frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}{x^2 + 3x - 10}$.

а) $\frac{(x+5)(x-2)}{x-5}$;

б) $-2$;

В) $x+2$;

Г) $x-2$;

Д) $\frac{x-5}{x+5}$.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель: $x^3 + 5x^2 - 4x - 20$.
Для этого используем метод группировки слагаемых:
$(x^3 + 5x^2) - (4x + 20)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$x^2(x + 5) - 4(x + 5)$
Теперь вынесем общий множитель $(x+5)$:
$(x + 5)(x^2 - 4)$
Выражение в скобках $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)$
Таким образом, числитель равен: $(x + 5)(x - 2)(x + 2)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $x^2 + 3x - 10$.
Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив квадратное уравнение $x^2 + 3x - 10 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -10$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.
Следовательно, знаменатель можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$1 \cdot (x - 2)(x - (-5)) = (x - 2)(x + 5)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение:
$$ \frac{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}{x^2 + 3x - 10} = \frac{(x + 5)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 5)} $$
Сокращаем общие множители $(x+5)$ и $(x-2)$ (при условии, что $x \ne -5$ и $x \ne 2$):
$$ \frac{\cancel{(x + 5)}\cancel{(x - 2)}(x + 2)}{\cancel{(x - 2)}\cancel{(x + 5)}} = x + 2 $$

Полученное выражение $x+2$ соответствует варианту ответа в).

в) Ответ: $x+2$.