Номер 15, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. В коробке находятся красные и синие шары, причем синие шары составляют 1 % от общего числа шаров. После того как из коробки взяли часть красных шаров, доля синих от общего числа оставшихся в коробке шаров составила 2 %. Найдите, во сколько раз первоначальное число шаров больше числа взятых красных шаров.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $N_1$ – первоначальное общее число шаров (красных и синих).

Пусть $S$ – число синих шаров. Это значение не изменяется на протяжении всей задачи.

Пусть $K_{вз}$ – число красных шаров, которые взяли из коробки.

Шаг 1: Анализ первоначального состояния.

По условию, синие шары составляют 1% от общего числа шаров. Математически это можно записать так:

$S = 0.01 \cdot N_1$ или $S = \frac{1}{100} N_1$

Из этого соотношения мы можем выразить первоначальное количество всех шаров $N_1$ через количество синих шаров $S$:

$N_1 = 100 \cdot S$

Шаг 2: Анализ конечного состояния.

Из коробки взяли $K_{вз}$ красных шаров. Число синих шаров $S$ осталось прежним, а общее число шаров уменьшилось и стало равно $N_1 - K_{вз}$.

Теперь доля синих шаров составляет 2% от нового, меньшего, общего числа шаров:

$S = 0.02 \cdot (N_1 - K_{вз})$ или $S = \frac{2}{100} (N_1 - K_{вз}) = \frac{1}{50} (N_1 - K_{вз})$

Выразим новое общее число шаров $(N_1 - K_{вз})$ через количество синих шаров $S$:

$N_1 - K_{вз} = 50 \cdot S$

Шаг 3: Составление и решение системы уравнений.

У нас есть два ключевых уравнения:

1) $N_1 = 100S$

2) $N_1 - K_{вз} = 50S$

Подставим значение $N_1$ из первого уравнения во второе:

$100S - K_{вз} = 50S$

Из этого уравнения найдем, чему равно число взятых красных шаров $K_{вз}$:

$K_{вз} = 100S - 50S$

$K_{вз} = 50S$

Шаг 4: Нахождение итогового отношения.

Вопрос задачи: "во сколько раз первоначальное число шаров больше числа взятых красных шаров". Для ответа на этот вопрос нужно найти отношение $\frac{N_1}{K_{вз}}$.

Мы знаем, что $N_1 = 100S$ и $K_{вз} = 50S$.

Найдем отношение:

$\frac{N_1}{K_{вз}} = \frac{100S}{50S} = 2$

Таким образом, первоначальное число шаров в 2 раза больше числа взятых красных шаров.

Ответ: 2