Номер 13, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Имеется два сплава. Один содержит $2,8 \text{ кг}$ золота и $1,2 \text{ кг}$ примесей, другой — $2,7 \text{ кг}$ золота и $0,3 \text{ кг}$ примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили $2 \text{ кг}$ сплава с содержанием золота $85 \%$. Найдите, сколько граммов металла отрезали от второго куска.

Для решения задачи сперва найдем концентрацию (массовую долю) золота в каждом из двух исходных сплавов.

Общая масса первого сплава составляет $2,8 \text{ кг} + 1,2 \text{ кг} = 4 \text{ кг}$.
Концентрация золота в первом сплаве: $C_1 = \frac{2,8}{4} = 0,7$ (то есть 70%).

Общая масса второго сплава составляет $2,7 \text{ кг} + 0,3 \text{ кг} = 3 \text{ кг}$.
Концентрация золота во втором сплаве: $C_2 = \frac{2,7}{3} = 0,9$ (то есть 90%).

Пусть $x$ – масса (в кг) куска, который отрезали от первого сплава, а $y$ – масса (в кг) куска, который отрезали от второго сплава.

По условию, общая масса полученного нового сплава равна 2 кг. Это позволяет составить первое уравнение:
$x + y = 2$

В новом сплаве содержание золота составляет 85%, следовательно, абсолютная масса золота в нем равна $2 \text{ кг} \cdot 0,85 = 1,7 \text{ кг}$. Эта масса складывается из массы золота в куске от первого сплава ($0,7x$) и массы золота в куске от второго сплава ($0,9y$). Это позволяет составить второе уравнение:
$0,7x + 0,9y = 1,7$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 2 \\ 0,7x + 0,9y = 1,7 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2 - y$. Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$0,7(2 - y) + 0,9y = 1,7$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:
$1,4 - 0,7y + 0,9y = 1,7$
$0,2y = 1,7 - 1,4$
$0,2y = 0,3$
$y = \frac{0,3}{0,2} = \frac{3}{2}$ кг

Масса куска, отрезанного от второго сплава, равна $y = \frac{3}{2} \text{ кг}$, или $1,5$ кг.

Найдите, сколько граммов металла отрезали от второго куска.
Чтобы найти массу в граммах, необходимо перевести килограммы в граммы, умножив на 1000:
$1,5 \text{ кг} \cdot 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} = 1500 \text{ г}$.
Масса второго куска была найдена в виде неправильной дроби $\frac{3}{2}$ кг, что эквивалентно $1\frac{1}{2}$ кг. Итоговый ответ, выраженный в граммах, является целым числом 1500, которое и является искомой целой частью. Ответ: 1500