Номер 6, страница 196 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. В одном городе Канады 70 % жителей знают французский язык и 80 % — английский язык. Найдите, сколько процентов жителей знают оба языка, если известно, что каждый житель города знает, по крайней мере, один из этих языков.

а) 50 %;

б) 10 %;

в) 20 %;

г) 75 %;

д) 40 %.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений для множеств. Пусть $F$ — это множество жителей, знающих французский язык, и $E$ — множество жителей, знающих английский язык.

Из условия задачи нам известны следующие данные: процент жителей, знающих французский язык, составляет $P(F) = 70\%$; процент жителей, знающих английский язык, $P(E) = 80\%$. Условие, что каждый житель знает по крайней мере один из этих языков, означает, что объединение этих двух множеств охватывает всех жителей города, то есть $P(F \cup E) = 100\%$.

Требуется найти процент жителей, знающих оба языка, что соответствует пересечению множеств, $P(F \cap E)$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:

$P(F \cup E) = P(F) + P(E) - P(F \cap E)$

Выразим из этой формулы искомую величину $P(F \cap E)$:

$P(F \cap E) = P(F) + P(E) - P(F \cup E)$

Теперь подставим числовые значения, выраженные в процентах:

$P(F \cap E) = 70\% + 80\% - 100\% = 150\% - 100\% = 50\%$

Следовательно, 50% жителей этого города знают оба языка. Этот результат соответствует варианту а).

а) 50 %; Ответ: 50