Номер 11, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите, какое наименьшее число работников может работать в фирме, если известно, что мужчины составляют в ней меньше $50\%$, но больше $40\%$.

Пусть $M$ — количество мужчин в фирме, а $N$ — общее число работников. Поскольку количество людей должно быть целым, $M$ и $N$ — натуральные числа.

По условию задачи, доля мужчин в фирме, то есть отношение $\frac{M}{N}$, составляет меньше 50%, но больше 40%. Запишем это в виде двойного неравенства:

$40\% < \frac{M}{N} < 50\%$

Для удобства вычислений переведем проценты в обыкновенные дроби:

$\frac{40}{100} < \frac{M}{N} < \frac{50}{100}$

После сокращения дробей получаем:

$\frac{2}{5} < \frac{M}{N} < \frac{1}{2}$

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее натуральное число $N$, для которого существует натуральное число $M$, удовлетворяющее этому неравенству. Для этого будем последовательно проверять значения $N$, начиная с 1, и смотреть, найдется ли подходящее целое $M$ в интервале $(\frac{2}{5}N, \frac{1}{2}N)$.

• При $N=1$: интервал для $M$ будет $(0.4, 0.5)$. Целых чисел в этом интервале нет.
• При $N=2$: интервал для $M$ будет $(0.8, 1)$. Целых чисел нет.
• При $N=3$: интервал для $M$ будет $(1.2, 1.5)$. Целых чисел нет.
• При $N=4$: интервал для $M$ будет $(1.6, 2)$. Целых чисел нет.
• При $N=5$: интервал для $M$ будет $(2, 2.5)$. Целых чисел нет.
• При $N=6$: интервал для $M$ будет $(2.4, 3)$. Целых чисел нет.
• При $N=7$: интервал для $M$ будет $(2.8, 3.5)$. В этом интервале есть целое число $M=3$.

Таким образом, мы нашли наименьшее возможное общее число работников $N$, равное 7. При этом число мужчин $M$ будет равно 3. Проверим, выполняется ли условие: доля мужчин составляет $\frac{3}{7}$.

$\frac{2}{5} = 0.4$, а $\frac{1}{2} = 0.5$.

$\frac{3}{7} \approx 0.4286$

Неравенство $0.4 < 0.4286 < 0.5$ выполняется. Следовательно, наименьшее число работников — 7.

Наименьшее число работников: Ответ: 7