Номер 14, страница 197 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. На велотреке, имеющем форму окружности, из диаметрально противоположных точек одновременно стартуют два велосипедиста со скоростями $775\frac{\text{М}}{\text{мин}}$ и $800\frac{\text{М}}{\text{мин}}$ соответственно. Найдите, сколько полных кругов проедет первый велосипедист к моменту, когда его догонит второй, если длина велотрека равна четверти километра.

Для решения задачи сначала приведем все единицы измерения к единой системе. Длина велотрека дана в километрах, а скорости — в метрах в минуту. Переведем длину трека в метры:

$L = \frac{1}{4} \text{ км} = 0.25 \times 1000 \text{ м} = 250 \text{ м}$.

Велосипедисты стартуют из диаметрально противоположных точек окружности. Это означает, что начальное расстояние между ними, измеряемое вдоль трека, равно половине его длины:

$S_{нач} = \frac{L}{2} = \frac{250 \text{ м}}{2} = 125 \text{ м}$.

Скорость второго велосипедиста ($v_2 = 800 \frac{м}{мин}$) больше скорости первого ($v_1 = 775 \frac{м}{мин}$), поэтому второй велосипедист будет догонять первого. Скорость их сближения (относительная скорость) равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 800 \frac{м}{мин} - 775 \frac{м}{мин} = 25 \frac{м}{мин}$.

Время $t$, через которое второй велосипедист догонит первого, можно найти, разделив начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t = \frac{S_{нач}}{v_{сбл}} = \frac{125 \text{ м}}{25 \frac{м}{мин}} = 5 \text{ мин}$.

Теперь вычислим расстояние $S_1$, которое проедет первый велосипедист за это время:

$S_1 = v_1 \times t = 775 \frac{м}{мин} \times 5 \text{ мин} = 3875 \text{ м}$.

Чтобы определить, сколько кругов проехал первый велосипедист, разделим пройденное им расстояние на длину одного круга. Запишем результат в виде неправильной дроби:

$N_1 = \frac{S_1}{L} = \frac{3875}{250} = \frac{31}{2}$.

Количество полных кругов, которое проедет первый велосипедист к моменту, когда его догонит второй: Для ответа на вопрос преобразуем неправильную дробь $\frac{31}{2}$ в смешанное число, чтобы выделить целую часть: $15 \frac{1}{2}$. Количество полных кругов равно целой части этого числа. Ответ: 15.