Номер 14, страница 48 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

14. После изохорного нагревания идеального газа определённой массы от температуры $T_1 = 300 \text{ К}$ до температуры $T_2 = 420 \text{ К}$ и последующего изобарного нагревания газ был переведён в начальное состояние в процессе, при котором давление уменьшается прямо пропорционально объёму. Определите температуру идеального газа после изобарного нагревания.

Дано:

Начальная температура газа, $T_1 = 300$ К

Температура газа после изохорного нагревания, $T_2 = 420$ К

Найти:

Температуру газа после изобарного нагревания, $T_3$

Решение:

Рассмотрим цикл, состоящий из трёх процессов, и обозначим параметры газа (давление $p$, объем $V$, температура $T$) в ключевых точках цифрами 1, 2 и 3.

1. Состояние 1 (начальное): $p_1, V_1, T_1$.

2. Состояние 2 (после изохорного нагревания): $p_2, V_2, T_2$.

3. Состояние 3 (после изобарного нагревания): $p_3, V_3, T_3$.

Распишем уравнения для каждого процесса:

Процесс 1-2: Изохорное нагревание.

В этом процессе объем газа не меняется, то есть $V_1 = V_2$. Согласно закону Шарля, для изохорного процесса отношение давления к температуре постоянно:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Отсюда выразим давление во втором состоянии: $p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}$.

Процесс 2-3: Изобарное нагревание.

В этом процессе давление газа не меняется, то есть $p_2 = p_3$. Согласно закону Гей-Люссака, для изобарного процесса отношение объема к температуре постоянно:

$\frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3}$

Отсюда выразим объем в третьем состоянии: $V_3 = V_2 \frac{T_3}{T_2}$. Так как из первого процесса мы знаем, что $V_1 = V_2$, то можем записать: $V_3 = V_1 \frac{T_3}{T_2}$.

Процесс 3-1: Возвращение в начальное состояние.

В условии сказано, что в этом процессе давление уменьшается прямо пропорционально объёму. Это означает, что зависимость давления от объёма линейна и проходит через начало координат, то есть $p = k V$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности. Следовательно, для состояний 1 и 3 выполняется соотношение:

$\frac{p_1}{V_1} = \frac{p_3}{V_3}$

Теперь объединим полученные уравнения. Подставим выражения для $p_3$ (с учётом $p_3=p_2$) и $V_3$ в последнее уравнение:

$\frac{p_1 \frac{T_2}{T_1}}{V_1 \frac{T_3}{T_2}} = \frac{p_1}{V_1}$

Поскольку $p_1$ и $V_1$ не равны нулю, мы можем сократить их в обеих частях уравнения:

$\frac{T_2/T_1}{T_3/T_2} = 1$

Это уравнение можно переписать в виде:

$\frac{T_2^2}{T_1 T_3} = 1$

Из этого соотношения выражаем искомую температуру $T_3$:

$T_3 = \frac{T_2^2}{T_1}$

Подставим известные числовые значения:

$T_3 = \frac{(420 \text{ К})^2}{300 \text{ К}} = \frac{176400 \text{ К}^2}{300 \text{ К}} = 588 \text{ К}$

Ответ: 588 К.